정사각형을 서로 크기가 제각기 다 다른 작은 정사각형들로 완전히 분할하는 방법이 존재할까?
있을 것 같으면서도 찾기는 굉장히 어려울 것 같고..
그런데 그걸 찾아낸 사람이 있다. 정말 대인배가 아닐 수 없다.

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크기가 112인 정사각형을 21개의 서로 다른 크기의 정사각형으로 분할하는 방법이 발견되었다. 가장 작은 부분 정사각형의 크기는 2이며, 큰 놈은 50이다.
사람의 힘만으로 찾은 건 아니고 컴퓨터를 동원하여 무려 1970년대 말에 찾은 거라고 한다. 마치 4색 문제를 증명할 때처럼 말이다. 20세기 중반에는 24개의 정사각형을 쓰는 방법이 발견되었다가 더욱 간단한 해가 발견된 것이다.
(저 정사각형들도 최대 4개의 색만으로 서로 경계를 구분하여 칠할 수 있으니, 4색 문제하고도 관계가 있다. ^^)

이것이 optimal한 solution임이 추후 증명되었다. 즉, 112보다 더 작은 크기의 정사각형을 21개보다 더 적은 개수의 서로 다른 정사각형으로 분할하는 방법은 존재하지 않는다는 것. plane sweeping 기법과 관계가 있으려나? (정올에서 여러 겹치는 사각형들의 실제 넓이 내지 둘레를 구할 때 쓰이는..)

참고로, 2차원이 아니라 3차원에서 정육면체를 서로 크기가 다른 정육면체로 꽉 맞게 채운다거나 그 이상의 차원에서 같은 방법으로 hypercube를 채우는 방법은 아예 존재하지 않는다고 한다. -- 상식적으로 생각해도 명확한 것이, 그런 정육면체가 있다면, 여섯 면이 다 제각기 크기가 서로 다른 정사각형으로 거대한 정사각형을 이룬 모습을 기본적으로 하고 있어야 하는데, 정육면체만으로 그렇게 되는 것은 불가능하기 때문이다.

Posted by 사무엘

2010/06/16 08:47 2010/06/16 08:47
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