1. 오일러 상수: 감마

초등학교 시절에 반비례 함수라고 배웠던 1/x는 조화급수를 나타내며, 궤적은 쌍곡선이고 부정적분은 ln x (+C)가 되는 꽤 독특한 함수이다.
그런데 1/x의 값을 1 간격으로 n까지 구한 조화수열의 합과(즉, 1 간격의 구분구적법), 아예 해당 함수의 정적분(실제 면적)은.. 일단 명목상으로 값이 비슷할 것 같은데 정확하게 얼마나 차이가 날까? n이 무한대로 근접할수록 값이 어떻게 될까?

먼저, 이런 발상이 왜 나왔겠는지부터 생각을 해 보자.
1/x라는 문제의 함수는 x가 무한대로 갈 때 함수값 자체는 0으로 수렴하여 한없이 줄어들지만, 급수의 무한합 내지 정적분은 무한대로 발산한다는 아주 기괴한 특징이 있다. 보통은 다 발산하거나 다 수렴하지, 저렇게 되는 건 몹시 드물다.

1/x 말고 그냥 x라든가 1/x^2 같은 주변의 다른 함수에 대해서  급수의 무한합과 정적분의 차이를 구해 보면 구하는 게 무의미한 trivial한 결론이 나와 버린다. 그냥 무한대로 빠지거나, 아니면 한쪽이 그냥 0이 돼 버려서 차를 구할 필요가 없어지는 식이다.

하지만 1/x는 그렇게 trivial하게 빠지지 않는다. 더구나 무한급수와 정적분의 차이가 “무한대 - 무한대” 꼴의 극한이 되는지라, 극한값이 유한하게 나온다는 게 직관적으로 보장도 되지 않는다. 그러니 이 극한값은 수학적으로 파고들 명분과 의미가 있으며, 옛날 천재 수학자의 관심을 끌게 되었다.

일단 1/x에 대해서 무한합과 정적분의 차이가 특정값으로 수렴한다는 것 자체가 증명되었으며, 그 값은 대략 0.577215… 형태로 빠진다. 이 수는 관례적으로 오일러-마스케로니 상수라고 불린다.

자연상수 e야 미적분과 밀접한 관계가 있으니 중등교육 수준에서도 이과의 최종 테크 한정으로 배운다. 하지만 저 상수는 쓰이는 곳이 너무 난해한지라, 수학과에서 해석학을 전문적으로 배우는 정도가 아니라면 딱히 접할 일이 없다.

더구나 쟤는 특성이 밝혀진 것도 별로 없다. 사칙, 삼각함수, 지수, 로그만으로는 저 수를 나타낼 수 없다. 그러니 정황상 초월수 무리수인 것이 99.999% 확실해 보이긴 하지만.. 수학자들이 수긍할 수 있는 완벽 엄밀한 논리 전개만 동원해서는 초월수는커녕 무리수인지도 정확하게 증명이 못 돼 있다고 한다. 의외의 일이다.

다만, 이 수는 e^(-x) * ln(x)라는.. 비교적 친근한(?) 초등함수 조합을 0부터 무한대까지 이상적분을 해서 얻을 수 있다(음수 버전이 나옴). 친근해 봤자 쟤는 이미 부정적분은 초등함수 형태로 나타낼 수 없는 수준이지만 말이다.

그리고 이 수는 팩토리얼의 대수적 확장 버전인 감마 함수와도 관계가 있다. GAMMA(x)-1/x라는 함수에서 x=0의 극한값이 이 수의 음수 부호 형태이다. 신기하지 않은가? 그래서 이 오일러 상수는 그리스 문자 ‘감마’(γ)를 써서 표기하곤 한다. 상수는 소문자 감마이고 함수는 대문자 감마이다.
이 글의 전체 내용을 수식으로 요약하면 다음과 같다.

사용자 삽입 이미지

2. 오메가 상수와 람베르트 함수

고등학교 수학에서는 지수와 로그를 다루고, 이과 및 자연계에서는 이에 대한 미· 적분까지도 다룬다.
그럼 다음으로 지수함수 e^x에다가 x를 또 곱한 x*e^x라는 함수를 생각해 보자. 취급하기가 약간 더 복잡해졌지만.. 그래도 얘는 부분적분을 통해 부정적분을 온전한 형태로 구할 수는 있다.

그런데 x*e^x = 1 이라는 방정식의 근을 구할 수 있을까? (뭔가 오일러의 항등식과 살짝 비슷하게 생겼는데.. 그냥 기분 탓임..)
양변에 로그를 씌워서 식을 정리하면 x= -ln x까지는 나온다. 하지만 이 이상 식을 정리하는 건 무리이고, 이 시점에서 발상을 전환하여 뭔가 새로운 개념이나 용어를 창조해야 할 것 같다. 그리고 그걸 1700년대에 이미 실제로 한 사람이 있다.

일단 저 식을 실수 범위에서 만족하는 근 x는 대략 0.567143…으로 전개되는 값이다. 앞서 다뤘던 오일러 상수와 얼추 비슷한 크기라는 게 흥미롭다. 물론 특성과 의미는 전혀 다르지만 말이다. 더 나아가 x에 대해 t*e^t = x를 만족하는 t를 되돌리는 함수가 바로 고안자의 이름을 딴 “람베르트 W” 함수이다.

고안자인 요한 하인리히 람베르트는 수학, 물리, 천문학, 철학 등 다방면에서 가히 레오나르도 다 빈치 급으로 불세출의 천재였다고 전해진다. 오일러와도 같은 국적의 동시대 사람이었으나.. 좁은 세상에 태양이 둘일 수는 없어서 그런지 람베르트는 오일러보다야 인지도가 낮다.

오일러 상수에 그리스 문자 ‘감마’가 부여되어 있다면, 앞서 언급한 W(1)에는 관례적으로 그리스 문자 ‘오메가’가 부여되어 있다. 오메가가 w와 비슷하게 생겨서 두 문자가 저렇게 섞여 쓰이는 것 같다.
W(1)은 오일러 상수보다는 분석하기가 아무래도 더 용이한지, 초월수라는 것은 간편하게 증명되어 있다.

하지만 W라는 함수도 기존 초등함수의 형태로 나타낼 수 없으며 절대로 만만한 물건이 아니다. 그럼 정체를 알기 위해 만년 수치해석 근사값에만 의지해야 하느냐 하면.. 그렇지는 않다. 해석학적인 의미를 지닌 형태로 나타낼 수는 있는데, 그게 감마 함수가 들어간 무한급수이다. 이 역시 공대 수준의 숫자 공부만 한 사람이라면 그냥 포기하는 게 속 편할 것 같다..;;

하지만 이런 물건이 왜 존재하느냐 하면.. 그게 존재함으로써 더 복잡한 문제를 풀 수 있고 다른 복잡한 개념을 간결하게 표현할 수 있기 때문이다.
x*a^x뿐만 아니라 아예 x^x=b 같은 방정식의 근도 Lambert 함수 형태로 표현 가능하다.

단적인 예로 x^x = e의 근은.. 저 오메가 상수의 역수.. 1/W(1), 대략 1.763222…이다. e에다가 단순 가공을 한 게 아닌, 뭔가 차원이 다른 수가 튀어나온 셈이다. x^x 정도면 적분도, 방정식 근도 모두 통상적인 방법으로는 못 구하는 난감한 물건이니 말이다.
어쩐지 뭔가 메이플 같은 수학 패키지로 지수함수가 섞인 복잡한 방정식 풀이를 시켜 보면.. LambertW 이러는 식으로 답이 나오곤 하던데 그게 저런 뜻이었다.

Lambert 함수는 양의 실수에서는 ln x보다도 더욱 느리게 증가하는 별볼일 없는 함수이다. 하지만 수학 전공자들은 이런 함수를 실수도 모자라서 복소수 영역에서 갖고 논다. 도함수나 부정적분을 구하면 이 함수 자체가 포함된 더 복잡한 형태가 나오는 게 지수/로그함수 계열과 비슷해 보인다.

얘는 음수 -1/e부터 0 사이에서는 마치 제곱근처럼 값이 2개가 나온다는 특징이 있다.
비록 중등 교육과정에서 가르치지는 않지만.. 해석적으로 분석을 못 하는 것도 아닌데, 관점에 따라서는 얘도 초등함수의 범주에 넣을 수 있어 보인다.

사용자 삽입 이미지

참고로 람베르트 함수 말고 삼각함수 중에도..
우리가 0 극한값을 배울 때 써먹었던 sin(x)/x처럼.. 하필 sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x)를 x로 나눈 물건의 정적분 함수를 따로 Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x) 요렇게 표기한다. 기존 초등함수들의 조합으로 나타낼 수 없는 새로운 특성을 갖지만 그래도 수학적으로 다른 의미가 있기 때문이다.

저렇게 써 놓으니 무슨 한어병음 표기처럼 보인다만=_=;; 어쨌든 저런 건 초월함수들 중에서 적분함수라고 따로 불린다.

Posted by 사무엘

2020/07/09 08:35 2020/07/09 08:35
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