김 용묵의 절대공간 - 블로그

1. 수학
첫 5개인 3, 5, 17, 257, 65537은 소수라는 게 1600년대 사람인 페르마에 의해 밝혀졌다. 하지만 컴퓨터가 없던 시절이니, 그 뒤의 큰 수들도 모두 소수일지는 떡밥의 영역이었다. (17세기)

천문학
수 금 화 목 토성까지는 육안만으로 밤 하늘에서 관측 가능했기 때문에 아주 오래 전부터 알려져 있었다. 1600년대 사람인 갈릴레이 갈릴레오는 목성의 위성을 추가로 발견한 정도였다. (17세기)

2. 수학
65537 다음으로 4294967297 (약 43억ㅋ)은 641 * 6700417인 합성수임이 밝혀져서 페르마의 추측은 반증이 나와 버렸다. 컴퓨터가 없던 시절에 레온하르트 오일러라는 수학자가 무려 1732년에 겨우 20대 중반의 나이로 이걸 찾아냈다. (18세기)

천문학
천왕성은 1781년, 망원경 우주 관측 덕후이던 윌리엄 허셜에 의해 발견됐다. 태양계에서 발견자의 이름이 과학사에 기록돼 있는 가장 가까운 행성이 천왕성이다. 참고로 태양-토성 거리와 토성-천왕성 거리가 서로 비슷하다!
천왕성의 발견은 인류의 오랜 우주 식견을 확장시킨 위대한 발견이었다. 저 43억짜리 수를 소인수분해 한 것처럼 말이다. (18세기) 이건 답이 제안된 걸 검산하는 것만으로도 사람 손으로는 시간이 얼마나 걸릴까..?? ㄲㄲㄲ

3. 수학
2^32 +1 다음으로 2^64 +1은 이제 형언하기 어려울 정도로 큰 수이다. 오일러 이후로 100년이나 더 지난 1855년에야 얘 역시 합성수임이 밝혀졌다. (19세기)
발견자는 토머스 클라우센이라는 수학자인데, 아무래도 오일러보다야 훨씬 덜 유명한 사람이다.

천문학
천왕성 다음으로 해왕성은 1845~46년에 걸쳐서 마치 남침 땅굴 찾듯이 여러 학자들의 계산과 추적, 관측이라는 공동 기여를 통해 발견되었다. 천왕성처럼 근성가이가 망원경으로 하늘을 끈질기게 수색하다가 혼자 발견한 게 아니라는 뜻이다. (이쪽은 숨겨진 공동 기여라고 해 봤자 주변 가족 지인이나..)
그렇기 때문에 해왕성의 발견자는 천왕성의 발견자보다야 훨씬 덜 유명하다. (19세기)

4. 수학
페르마의 수 2^32 +1과 2^64 +1은 각각 F5와 F6에 대응한다. 얘는 2의 거듭제곱과 관련이 있다.

천문학
천왕성과 해왕성은 티티우스-보데의 경험 법칙에서 각각 6과 7에 대응한다. 이 법칙에서 제안하는 수식도 2의 거듭제곱이 들어있다.

5. 수학
F6은 컴퓨터가 발명되기 전에 인간의 수작업만으로 완전히 소인수분해를 해낸 가장 큰 마지막 수이다. 컴퓨터의 도움 없이 더 큰 페르마 수 몇 개가 합성수임이 증명된 사례가 있긴 하지만, 소인수분해를 몽땅 다 해서 증명한 건 아니었다.
F6 다음의 F7만 해도 전체 소인수분해가 완료된 때는 무려 1970년이었다! (20세기)

천문학
해왕성은 현재까지 태양계에서 알려진 마지막 행성이며, 티티우스-보데의 경험 법칙의 적중률도 한계에 도달하는 시점이다.
해왕성 다음으로 명왕성은 무려 1930년에야 발견됐다. (20세기)

6. 수학
페르마 수를 20번대 이후까지 찾아봐도 그 수들은 prime이 전혀 없이 모두 합성수였다. 페르마의 추측은 65537을 끝으로 더 적중하지 않았다.
그러니 후대의 수학자들의 견해도 점점 부정적 회의적으로 바뀌었지만.. 그렇다고 소수가 전혀 존재하지 않는다고 증명이 된 건 또 아니다. 난감한 지경이다.

천문학
명왕성은 2006년에 왜행성으로 강등 재분류됐다.
여기보다 더 먼 곳은 궤도가 너무 방대하고 태양의 인력도 너무 약하니, 뭔가 자기 궤도를 독차지하는 행성이 존재하기가 현실적으로 굉장히 어렵다. 관측하기도 난감하니 제9, 제10의 행성 떡밥은 가능성이 매우 낮다.

Posted by 사무엘

* 옛날 2014년에 썼던 글을 관련 내용을 크게 보강하여 리메이크 한 것이다.

디지털 컴퓨터라는 게 0과 1, 2진법을 사용하다 보니, 2^n이라 하면 정보량과 관련해서 특히 컴퓨터쟁이들에게 아주 친근한 수이다.
그런데 2^n보다 1 더 크거나 작은 수가 소수라면 제각각 수학적으로 좀 독특한 의미를 갖게 된다.

1.
2^n-1 형태인 수를 메르센 수라고 한다. n층짜리 하노이의 탑의 원반을 옆으로 모두 옮기기 위해서는 이 메르센 수만치 지수함수적으로 증가하는 횟수만치 원반을 이동시켜야 한다. 그리고 메르센 수 중에서 소수인 놈을 메르센 소수라고 한다.
얘가 소수이려면 n도 반드시 소수여야 한다. n을 a와 b라는 두 자연수의 곱이라고 생각하고 2^ab - 1을 인수분해해 보면 그래야만 하는 구조적인 이유를 알 수 있다.

(2^ab는 (2^a)^b 와 같다. 2^(a+b)하고 혼동하지 말 것.)

n이 합성수여서 2 이상인 두 자연수 a, b의 곱으로 나타내어질 수 있다면 2^n-1은 빼도 박도 못하고 무조건 합성수가 돼 버린다. 전체 결과가 소수가 되려면 a는 1이고 b는 소수로 귀착되는 것밖에 가능성이 없다. 비록 이 조건이 만족된다고 해서 2^n-1이 언제나 반드시 소수가 된다는 보장은 없지만 말이다.
가장 작은 반례는 2^11-1이다. 11은 소수이지만 2047은 23*89로 소인수분해 되는 합성수이다.

메르센 수는 2^n에서 1이 부족한 형태라는 특성상 2진법으로 나타내면 모든 자리수가 1이다. 컴퓨터에서 취급이 간편하기도 하고, 또 n의 소수 여부를 판정한 뒤에 곧장 무려 2^n-1이라는 방대한 수를 취급할 수 있다는 특성상.. 컴퓨터로 가장 큰 소수를 찾는 프로젝트는 대개 메르센 수를 대상으로 진행되곤 한다. 물론 실제로는 메르센 수가 아닌 소수도 많이 있으며, 반대로 메르센 수 중에서도 메르센 소수는 매우 드물다는 점을 감안할 필요가 있다.

저런 거 찾는 건 거의 애니메이션 렌더링과 같은 급으로 상상을 초월하는 계산량으로 컴퓨터를 열받게 하고 혹사시키는 작업이다. 그나마 양만 많지 내부 과정 자체는 단순무식한 편이니 병렬화가 수월한 건 다행인 점이다.

메르센 소수는 짝수 완전수와 필요충분 관계로 정확히 대응하는 것으로 유명하다. (약수의 합이 자신과 같은 6, 28, 496 같은 수) 메르센 소수 2^n-1에다가 2^(n-1)을 곱하면 완전수가 나오기 때문이다. 괄호 순서에 유의할 것. 즉, 저기서 n에다 소수를 집어넣으면 된다. 천재 수학자 오일러가 모든 짝수 완전수는 이런 형태라는 것을 증명했다.
현재까지 메르센 소수는 약 50여 개가 알려져 있으나, 무한히 존재하는지는 불명이다.

2.
그럼, 다음으로 2^n+1의 경우를 생각해 보자. +1은 -1보다 더 자비심이 없다. n은 소수가 아니라 반드시 2의 거듭제곱 형태여야 그 값이 소수일 일말의 가능성이 생긴다. 이는 n의 소인수 중에 홀수가 절대로 존재해서는 안 됨을 의미한다. 아까 전과 비슷한 방식으로 2^ab + 1을 인수분해해 보면 그 이유를 알 수 있다.

n의 소인수에 홀수가 존재해서 그걸 b라고 설정하면 아까 -1일 때와는 부호만 미묘하게 다르게 저렇게 인수분해가 되며, 이 수는 100% 합성수임이 보장돼 버린다. (2^a - 1)이라면 a=1인 걸로 맞춰서 없앨 수라도 있지만, (2^a + 1)은 도저히 처분할 방법이 없다.

하긴, 고등학교 공통수학 수준의 인수분해 공식을 생각해 봐도, n이 홀수일 때에 한해서 (a^n + b^n)은 a+b로 나눠 떨어지며 인수분해가 된다. 나눠진 몫에 해당하는 항은 a^n에서 b^n으로 a와 b의 차수가 조금씩 늘고 줄고 부호가 교대로 바뀐다.
이를 일반화하면, n이 굳이 홀수가 아니더라도 6이나 10처럼 홀수 소인수가 포함돼 있으면(3, 5) (a^n + b^n)은 굳이 a+b가 아니더라도 (a^2+b^2) 같은 것으로라도 나눠 떨어지며 인수분해가 된다. 그렇지 않고 홀수 소인수가 전혀 없다면 +의 경우는 인수분해를 할 수 없다.

부연 설명 차원에서 인수분해된 식들이 전개되는 양상을 시각적으로 살펴보면 이러하다.
a^n - b^n은 n의 값과 관계없이 언제나 a-b로 나눠 떨어지며, 나눠진 몫의 항들은 부호가 모두 +가 유지된다. 전부 +인 항들이 한 칸 옆으로 물러간 채 -로 바뀌어서 전부 +/-가 상쇄돼 버리고 맨 앞의 +와 -만 남는다
++++
 ----
+...- (a-b)

하지만 a^n + b^n일 때는 +와 -가 교차하는 항들이 한 칸 옆으로 맞물려서 상쇄돼야 맨 앞과 뒤의 +가 남을 수 있다. 그러니 이때는 항이 홀수 개여서 양 끝이 +가 유지돼야 인수분해가 가능해지는 것이다.
+-+-+
 +-+-+
+....+ (a+b)

(쪼개고 쪼개도 분자 단위에서 계속 앞뒤로 + - 극을 갖는 자석 같아 보이기도 하고..;;)
이 두 경우를 모두 종합한 듯이 인상적인 상황은 (a^n - b^n)에서 n이 2의 거듭제곱 형태일 때이다. n=8인 경우를 예로 들어 보면, 이 식은 (a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)라고 아주 드라마틱하게 인수분해가 된다. n이 2의 거듭제곱이면 (a^n + b^n)은 -일 때와는 반대로 인수분해가 도저히 더 되지 않는 다항식계의 소수(?) 같은 존재가 된다.

그렇기에 2^n+1도 n이 반드시 2의 거듭제곱 형태여야만 구조적으로 인수분해가 되지 않고 소수일 가능성이 생기는 것이다. 그리고 2^(2^n)+1 형태인 수를 페르마 수라고 하며, 그 중 소수인 놈을 페르마 소수라고 한다. 간단하게 2^n-1로 정의되는 메르센 수와는 양상이 다르다.

그러니, 태생적으로 딱 봐도 페르마 소수는 메르센 소수보다도 더욱 드물 것 같이 생겼는데, 실제로 그러하다.
n에 비례해서 숫자가 넘사벽급으로 너무 폭발적으로 커지는 관계로, 페르마 소수는 n=0..4인 처음 겨우 5개밖에 알려져 있지 않다(3, 5, 17, 257, 65537). n이 아니라 2^n으로 계산한 것이다.

여기서 페르마란 "페르마의 마지막 정리" 내지 추측을 제시했던 17세기 프랑스의 그 엄친아 변호사 겸 아마추어 수학자를 가리키는 거 맞다..
페르마 자신은 저런 형태로 생성된 모든 수들이 소수일 거라고 1637년에 추측하였으나, 그로부터 100여 년 뒤인 1732년, 오일러가 n=5인 2^32+1은 소수가 아니라고 반증을 해 버렸다. 아까 그 메르센 소수와 완전수 관계를 증명한 그 오일러 말이다.
지금이야 그 정도 크기의 수는 컴퓨터로 소수 여부를 아주 간단히 판별할 수 있지만 오일러는 컴퓨터도 없던 시절에 저걸 도대체 어떻게 알아낸 걸까? 찰스 웨슬리가 찬송시 And can it be that I should gain을 쓰기도 전의 일이다(1738).

제곱근인 65536 이내의 모든 홀수들을 브루트 포스 식으로 일일이 주판 돌려서, 제자들까지 멀티코어로 동원해서 나눠 본 건 물론 아니고..
2^32 + 1의 소인수는 반드시 64k+1 의 형태라는 것을 어떤 계기로 알아내고는 찾았다고 한다. 범위를 많이 좁힌 것이다.
실제로 2^32 + 1은 641 * 6700417인데, 이는 (64*10+1)*(64*104694+1)이다.
그는 이를 일반화하여 페르마 수의 소인수는 반드시 "2의 거듭제곱의 a배 + 1"이라는 사실까지 정립했다.

n=5에 속하는 2^32+1에 이어 n=6 (2^64 + 1)의 경우도 합성수라는 게 추가로 밝혀진 건 오일러 이후로 또 100년이 넘게 지난 무려 1855년의 일이다(by Thomas Clausen). 나머지 페르마 수들도 대략 32까지 구해 보니 줄줄이 다 합성수라는 것이 계산을 통해 밝혀졌다. 페르마의 예상과는 정반대로 흘러간 셈이다.
그러니 65537을 끝으로 페르마 소수는 더 존재하지 않는 게 아닌가 추측되고 있으나, 이 역시 홀수 완전수의 존재 여부만큼이나 정식으로 증명된 것은 아니다.

메르센 소수가 짝수 완전수와 동치 관계이듯, 페르마 소수 역시 굉장히 의외의 곳에 큰 의미를 지니고 있다. 이것은 작도 가능한 정다각형의 특성과 관계가 있다. 변의 개수의 소인수가 2 and/or 페르마 소수들로만 이뤄진 정다각형은 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해 작도 가능하다. 작도 가능한 수는 아무래도 사칙연산과 '제곱근'만으로 기술 가능한 수이니, 제곱근만을 연달아 적용하는 건 2의 거듭제곱만치 또 거듭제곱을 하는 것과 심상면에서 비슷해 보이긴 한다.

그렇기 때문에 작도 불가능한 최초의 정다각형은 정칠각형이며, 반대로 정17각형은 절차가 굉장히 복잡하고 까다롭긴 해도 작도 가능하다. 17은 페르마 소수이니까. 이걸 발견하여 증명한 사람은 오일러...는 아니고 18세기 독일의 천재 수학자인 가우스이며, 그것도 굉장히 어린 나이에 발견했다. sin 1도가 초월수가 아니라 대수적인 수이듯, cos 2*PI/17 역시 형태만 복잡할 뿐, 대수적인 수임을 의미한다.

(그림의 출처: 나무위키)
뭐, 이론적으로만 가능하다는 거지, 실제로 해 보면 누적되는 오차와 지저분한 보조선들 때문에 감당이 어려울 것이다. 하물며 정257각형과 심지어 정65537각형은? 이것도 이론에서나 작도 가능하다는 얘기다.

자, 지금까지 한 얘기들을 요약하면 다음과 같다.

• a^n-b^n은 언제나 a-b로 나눠 떨어지며 2^n-1 역시 그런 꼴의 수이므로, 얘를 소수로 만들려면 a-b가 반드시 1인 상황을 만들어야 한다. 그리고 메르센 수에서 그 경우란 n이 소수인 경우밖에 없다.
• 그리고 2^n+1의 일반형인 a^n+b^n은 아까처럼 한쪽 인수를 1로 만드는 게 불가능한 대신에, 인수분해 가능 여부가 n의 차수에 따라 조건부로 결정된다. 소수를 만들려면 물론 애초에 인수분해를 할 수 없는 상황을 만들어야 하며, n은 단순히 짝수인 정도를 넘어 소인수에 홀수가 전혀 없어야 한다. 그래서 n 자체가 2의 거듭제곱 형태인 것만 남는다.

그러고 보니 페르마뿐만 아니라 메르센도 17세기 동시대를 살았던 프랑스 사람이기 때문에 둘이 공통점이 있다. 메르센은 블레즈 파스칼의 스승이기도 했다. 프랑스, 독일 그쪽은 수학· 과학 쪽으로 그때로부터 지금까지 한가닥 하고 있는 대단한 동네이다.

* 소수 관련 여담

(1) 소수 자체가 안 그래도 수가 커질수록 (log n) / n 급의 스케일로 자연수에서 등장 빈도가 극도로 드물어진다. 그런데 그 소수들 중에서도 굉장히 까다로운 조건을 만족하는 메르센 내지 페르마 소수 같은 것들은 한계치 최대치가 존재한다 해도 이상할 게 없을 것이다. 굳이 수 자체가 특이한 게 아니더라도 2 간격으로 나란히 존재하는 쌍둥이 소수 쌍(5와 7, 11과 13, 17과 19..) 같은 것도 말이다. 그런데 한계치가 있다면 그 최대값이 알려져 있어야 할 텐데 그것이 수수께끼이다.

(2) 오일러의 업적 중에는 소수와 관련해서도 정말 살떨리는 것들이 많다. 자연수의 제곱의 역수의 무한합이 원주율과 관계 있는 수로 수렴한다는 것을 규명했을 뿐만 아니라 이건 소수의 분포와도 관계가 있기 때문에 임의의 두 수가 서로 소일 확률과 같다고 입증한 건 뭐.. 할 말을 잃게 만든다. 예전에 본인의 블로그에서 다룬 적이 있다.

(3) 또한 그는 소수의 개수가 무한한 건 말할 것도 없고, 소수의 역수의 무한합이 무한대로 발산한다는.. 거의 충격과 공포 안드로메다급의 명제도 증명했다. 물론 속도는 이중 로그(로그에다 또 로그) 급으로 끔찍하게 느리니 기대하지 말자. 그냥 자연수의 역수의 합만 해도 얼마나 느린데 하물며 소수의 역수는! 쉽게 말해 10에다 0을 10의 20승개만치 붙인 영역만치 소수의 역수를 더하면 합이 20이 될까말까 한다는 뜻이다. 쟤가 도대체 제곱의 역수의 무한합보다 뭐가 더 나은 구석이 있다고 발산을 하는 걸까?

단, 쌍둥이 소수들의 역수의 합은 유한으로 수렴한다고 한다. 쌍둥이 소수가 유한하다면 당연히 유한 수렴이겠지만, 무한하다 하더라도 얘는 발산하지 못한다고.. 구체적인 값은 모르겠지만 추세가 그렇게 된다는 큰 그림만 증명을 한 것이다. 어떻게 증명했는지는 나한테 묻지 마시길.

(4) 가우스, 오일러 등 인류 역사상 수많은 괴수 천재 수학자들이 초월적인 업적을 남기고 갔지만, 어떤 형태로든 소수 생성 규칙을 표방하는 모든 예측· 추측은 지금까지 하나도 완벽하게 적중한 게 없었다. 저 페르마의 추측처럼 말이다.
소수를 생성하는 규칙을 무슨 정보 검색이나 패턴 매칭에다가 비유해서 설명하자면, 정밀도와 재현율(precision & recall) 어느 것 하나라도 확실하게 잡는 규칙이 지금까지 발견된 적이 없다는 것이다. 정밀도가 100%라면 모든 소수를 커버하지는 못해도 일단 이 규칙이 생성하는 수는 다 소수임이 보장되는 것이고, 재현율이 100%라면 종종 소수가 아닌 놈(false alarm)이 섞여 있더라도 소수는 하나도 빠짐없이 커버한다는 뜻이다.

(5) partition number라는 게 있다. f(2)라면 1+1, 2 이렇게 2가지, f(3)이라면 1+1+1, 2+1, 3 이렇게 3가지, f(4)라면 1 1 1 1, 2 1 1, 2 2, 3 1, 4 이렇게 5... 뭔가 테트리스 조합처럼 올라가는데, 이 수열이 2 3 5 7 11 (15 22...) 이렇게 앞부분은 소수와 굉장히 비슷한 양상으로 시작한다. 무슨 파이의 그럴싸한 근사값을 보는 듯한 느낌이나, 얘는 실제로는 소수와는 수학적으로 아무런 관련이 없는 놈이다.

n에 대해서 f(n)의 값을 구하는 건 다이나믹 프로그래밍으로 해결 가능하다. 피보나치 수열 구하는 것보다는 어렵고 꽤 재미있는 프로그래밍 excercise이므로 관심 있으신 분은 도전해도 좋다. 참고로 점화식 함수 내지 테이블은 보기와는 달리 1변수로는 안 되고 2변수 형태로 짜야 한다.

Posted by 사무엘

10 이하의 소수(prime number)인 2, 3, 5, 7을 소재로 수집한 여러 잡생각들이다.

※ 2

짝수 중에 유일한 소수라는 점에서 큰 의미를 가지며, 2진법 정도면 0과 1, 같고 다름을 분별할 수 있는 최소한의 숫자 체계가 성립하기 때문에 2는 이산수학과 전산학에서 매우 큰 의미를 갖는다. 그 분야에서는 2가 로그 함수의 밑(base)으로도 즐겨 쓰인다. 이분법, 흑백 논리, 음양설 등의 사상적 근간이 되는 수라는 것은 덤.

2가 지니는 전통적인 의미는 위와 같은데, 2010년대부터 한국에서는 모 스타크래프트 프로게이머 때문에 '콩라인'이라는 의미로 2가 매우 유명해지기도 했다.
또한, 본인이 특별히 주목하는 2의 특성으로는,

• 태양계의 행성 중 태양에서 둘째로 가까운 금성만이 유일하게 짙은 이산화탄소가 가득한 끔찍한 불지옥이다. 그것도, 지구와 가장 가깝고 지구 다음으로 생명체가 살기에 가장 적합할 수도 있었을 행성이 말이다.
• 성경의 창세기 1장을 보면, 창조 기간 중 둘째 날에만 “하나님 보시기에 좋았더라”라는 말이 없다.
• 서울 지하철 중 2호선만이 유일하게 순환선이며, 낡은 플랩식 전광판이 2010년까지 가장 늦게까지 남아 있었다.
• 주찬양 선교단의 과거 앨범 중 2집만이 구성이 특이했으며, 10주년 기념 음반에는 1~7집 중 유일하게 2집의 곡만 단 한 곡도 수록되어 있지 않다.

이러한 징크스도 있다.

※ 3

삼위일체라든가 영-혼-몸 같은 개념 때문에, 3은 성경과 기독교의 관점에서 상당히 친근하고 긍정적인 수이다.

세상에는 '3요소'라는 특성으로 이뤄진 것들이 무척 많다. 우리가 사는 공간이 가로-세로-높이의 3차원이고, 시각 정보를 구성하는 색상 역시 RGB든 그 어떤 형태로든 3요소로 분할된다는 건 우리에게 시사하는 바가 매우 크다.
거기에다 인간의 언어의 음운조차도 크게 세 부분으로 이뤄져서 한글이 초· 중· 종성의 세벌식으로 구성된 것은 덤이다. 어쩌면 삼라만상이 어딜 가든 개념적으로 3으로 가득한 걸지도 모른다.

또한 컴퓨터 소프트웨어도 허접한 버전 1이 처음 나왔다가 과도기인 2를 거친 후, 제 3의 메이저 버전에 와서야 후대에까지 이어지는 뼈대가 완전히 정착된 경우가 적지 않다.
마이크로소프트 Windows는 3.0부터가 상업적으로 성공한 버전인 건 잘 알려진 사실이거니와, 국산 소프트웨어 중에서도 안 철수 씨의 바이러스 백신은 Vaccine III에서 유래된 V3이라는 브랜드가 정착한 것이다.

본인이 개발한 <날개셋> 한글 입력기도 에디팅 엔진과 기본적인 파일 구성, 그리고 각종 클래스 구조의 뼈대는 2004년에 완성된 3.0에서야 정착했으며, 그 여파로 인해 커널의 파일 이름도 ngs3.dll이다. 또한 최 정한 씨가 과거에 개발했던 셸 유틸리티인 MDIR도 정식 명칭은 MDIR-III이다.

※ 5

사람의 손가락과 발가락이 5개 단위이기 때문에 이 수는 우리에게 아주 친숙하다. 약수가 더 많아서 더 유용한 8이나 12가 아니라, 10이 기수법의 기준으로(10진법) 전세계에 보편적으로 통용되게 된 것은 전적으로 이것 때문이다.

그에 반해 손· 발가락이 5개보다 더 많아서 6개 정도 되는 건 전형적인 기형(다지증) 내지 괴물의 상징으로 간주되었다. 성경에도 고대에 손· 발가락이 6개인 거인 괴물 혈통이 있었다는 기록이 전해지며(삼하 21:20; 대상 20:6), 로스웰 추락 UFO 외계인 시체 해부 동영상에도 문제의 외계인의 사지엔 가락이 6개 달려 있다.
(비록 그 동영상은 훗날 낚시 자작극으로 판명이 됐지만, 1947년에 일어난 로스웰 사건 자체는 존재를 부정하기 어려운 듯하다. 그 자작극을 꾸미고 외계인 세트를 만든 사람도, 외계인이니까 손발가락을 5개가 아니라 일부러 6개로 설정했다는 것에 주목할 필요가 있다.)

5에서 수학적으로 더욱 큼직한 의미가 들어있다. 하필 5차 방정식부터가 대수적인 방법으로 일반해를 구하는 게 불가능하다는 것. 쉽게 말해 근의 공식 같은 만능 공식이 있을 수가 없다는 뜻이다.
3차나 4차의 경우, 비록 2차 방정식의 근의 공식 따위와는 비교도 못 할 정도로 복잡하고 어려운 형태이긴 하지만 근의 공식이 있긴 하다. 왜 5차부터 그마저 원천적으로 안 되는 걸까?

유한한 횟수의 사칙연산과 거듭제곱/제곱근의 묶음만으로는 표현할 수 없는 수가 방정식의 근으로 튀어나올 수 있기 때문이다. 근의 공식이 사용하는 연산 수단의 범위 자체를 넘어서는 수가 대수방정식의 근이 될 수 있다는 뜻이다. 그러면서도 정의상 초월수는 아니다. 흠..

예를 들어, 5차보다 한 차원 더 높은 6차 방정식 x^6+x^2-7=0 의 근 중 하나는 다음과 같다.

식은 정말 간단한 형태이지만 근은 가히 미치도록 복잡한 형태이지 않은가? 사람 손으로 계산하기란 거의 불가능한 경지임을 알 수 있다. 그래도 이 수의 6제곱과 2제곱을 더하면 딱 정확하게 7이 나오긴 한다. 이건 그나마 대수적인 범위에 근이 존재하는 사례이다.

그런데 이런 형태로 나오지 않는 근은 도대체 정체가 뭘까?
이걸 제대로 증명하고 이해하려면 군론을 비롯해 온갖 추상적이고 복잡하고 어려운 수학 이론을 동원해야 하며, 나도 거기까지는 잘 모른다. 다만, 초간단한 방정식 x^n=1만을 생각해 보자. 이 방정식의 근은 드 무아브르의 공식에 따라 복소평면에서 원점이 중심이고 반지름이 1인 원에 내접하는 정n각형의 꼭지점을 이루고 있다.

그러므로 180/n도 중, cos/sin값이 대수적인 수로 딱 떨어지지 않는 각도라면, 응당 대수적인 방법으로 나타낼 수 없는 근이 존재하게 된다고 대략 짐작 정도는 할 수 있을 것이다. 가령, n=7인 정칠각형 같은 것 말이다. 그리고 x^n=1부터가 그러하니, 다른 낮은 차수의 계수까지 섞이면 7차가 아닌 5차에서부터 다항식 기반 방정식의 복잡도가 안드로메다로 치솟는가 보다. 나의 수학 감각으로는 이해력이 여기까지가 한계이다.

그런데 어째 수학 패키지들은 그런 복잡한 방정식에 대해서도 근을 numerical한 방법으로 그것도 실수뿐만이 아니라 복소수 범위에서까지 다 찾아 주며, 5차 이상의 방정식이라도 대수적인 방법으로 근을 구할 수 있는 형태라면 아까의 예에서 본 것처럼 근사값이 아니라 symbolic하게 정확한 근을 찾아 주기까지 한다. 도대체 무슨 귀신같은 수치해석 알고리즘을 썼는지 모르겠다.

※ 7

열 손가락 안에 드는 수 중에서 가장 큰 소수인 7은 역수를 10진법으로 나타냈을 때 꽤 긴 순환소수가 등장하는 최초의 수이다. (0.142857...)
정다각형 중에서도 정칠각형은 3~6이나 심지어 8, 10에 비해서는 정말 듣보잡이다. 5는 그래도 황금비하고라도 관련이 있고 작도도 가능한데 반해, 7은 생긴 모습이 안정적이거나 예쁜 구석이 도무지 없고, 수학적으로 작도가 불가능한 최초의 정다각형이다. 자동차의 바퀴를 봐도 휠너트가 7개가 달린 경우는 전혀 없다.

그럼에도 불구하고 현실에서 7의 존재감이 가장 분명하게 나타나 있는 분야는 크게 두 곳인데, 한 주가 전세계 공통으로 7일이라는 점, 그리고 음악에서 한 옥타브의 음계가 하필 7음으로 구성된다는 점이다.

더 나아가 성경에서 숫자의 쓰임에 대해 면밀히 연구해 본 일부 사람들은, 하나님은 이런 불편하고 괴상한 숫자인 7을 무척 좋아하며, 내부적으로 7진법을 사용하시는 게 분명하다고 주장한다. 그래서인지 성경의 책들 중에서도 특히 요한계시록은 온통 7패턴으로 넘쳐나는 책이지 않던가. 무지개의 색깔이 관습상 7개로 분류되고 7이 웬지 행운의 숫자로 여겨지는 게 완전 터무니없는 엉뚱한 심상은 아니라는 뜻 되겠다.

여호수아기에서 여리고 성을 함락시키는 작전을 보면 이스라엘 백성은 6일 동안은 성을 한 바퀴 돌고, 일곱째 날에는 성을 일곱 바퀴 돈 뒤에 함성을 질렀는데 성이 무너졌다(수 6). 그와 비슷한 맥락으로, 계시록에서는 일곱 개의 봉인이 열리는데 마지막 봉인이 열리자 일곱 나팔이 나오고, 마지막 나팔 타이밍 때 재앙이 담긴 일곱 병.. 이런 식으로 이벤트가 꼬리에 꼬리를 잇는다.

과거에 스탈린 휘하의 구소련은 1930년대에 달력에서부터 종교색을 완전히 걷어내겠다는 의도로 독자적인 달력과 1주 5~6요일 체계를 사용한 적이 있었다. 그러나 그 시도는 오래 가지 못하고 실패했다. 7의 존재감은 아무래도 우리가 이제 와서 부정할 수 없을 정도로 깊숙히 파고든 게 분명하다.

※ 기타

1. 5차 방정식 얘기가 기왕 나왔으니 말인데, 수학에서 이런 식의 미지의 영역은 방정식 근 찾기뿐만 아니라 적분에도 있다. 미분은 합성함수나 곱에 대한 미분이 general하게 정립이 돼 있기 때문에 어떤 함수든 미분하기는 쉬운 편이다. 그러나 적분은 그렇지 않다. 부분적분은 말 그대로 식의 형태를 치환 같은 다른 적분 테크닉을 적용하기 유리한 형태로 변형하는 것일 뿐이기 때문에 만능이 아니다.

위키백과에 예가 제시되어 있듯, x^x, exp(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x) 같은 함수들은 부정적분이 어떤 특성을 갖는 함수인지 기존 초월함수들의 조합만으로는 형태가 기술이 되지 않는다.

까짓거 조립은 분해의 역순이고, 적분은 미분의 역순이 아닌가 하는 생각이 들지도 모르나, 수학의 세계는 그렇지 않은 모양이다. 마치 1/x를 적분했더니 ln x(+C)라는 완전히 생소한 함수가 튀어나온 것처럼, 미지의 발상의 전환이 필요한 듯하다.

2. 과학은 창조론과 진화론, 그리고 심지어 천동설-_-과 지동설 같은 이슈 때문에 종교계와 충돌할 거리가 있었다. 하지만 수학은?
“그래도 지구는 돈다.”도 아니고, “그래도 루트 2는 무리수이다.”, “그래도 파이는 초월수이다” 이런 것 때문에 교황청으로부터 무슨 수학자가 박해 받았다거나 하는 역사는 내가 알기로 없다.
설마 대하 4:2 같은 구절을 들고서 원주율은 3이라고 드립을 쳤다거나 하지는 않았을 테니 말이다. -_-;; 그럴 거면 차라리 H2O가 산소라고 드립을 치는 게 낫겠다. ㅋㅋㅋ

Posted by 사무엘