수학의 여러 분야에는 그 분야가 존재 가능한 이론적인 근간을 제공하는 '기본 정리'(fundamental theorem)라는 게 있다. 그 중 매우 대표적인 것은 다음 네 가지이다.

1. 산술의 기본정리(arithmetic)

모든 자연수는 유일한 소인수분해를 갖는다. 가령, 91이라는 수가 7*13이라는 수로 소인수분해가 된다면, 7과 13이 아닌 다른 소수의 곱으로 91을 만들 수 있는 가능성이 전혀 없다는 뜻이다. (가령, 근처의 비슷한 31*3으로는 93을 만들 수 있을 뿐..)
정리라고 할 것도 없는 너무 당연한 소리 같지만 RSA 암호화도 이런 기본정리가 성립하기 때문에 존재 가능하다는 걸 생각해 보자.

2. 선형대수의 기본정리

쉽게 말하면 선형 변환(linear transform)과 행렬은 표현 능력이 서로 동치라는 뜻이다. 전산학에서 "람다 대수와 튜링 기계는 계산 능력이 서로 동치이다" 이러는 것처럼 말이다.
이것도 그냥 당연한 말장난처럼 들리지만, 온갖 평행이동· 회전· 확대를 수반하는 복잡한 다단계 선형 변환을 몽땅 행렬의 곱으로 합성해서 한꺼번에 간편하게 짠~ 할 수 있는 이론적 근간이 바로 이 기본정리이다.
여기 하위 범주로 가역행렬의 기본정리라는 것도 있다.

3. 대수학의 기본정리(algebra)

일변수 n차 방정식은 복소수 범위에서 적어도 1개 이상, 최대 n개의 근이 존재하는 것이 언제나 보장된다. 즉, 복소수라는 '체'(field)는 대수적으로 닫힌 체이다.
2차 방정식의 근을 허근까지 일관되게 온전히 표현하기 위해서, 허수와 복소수라는 개념이 처음 도입됐다. 하지만 그 이상 100차 방정식의 근을 구해서 표현하기 위해서, 혹은 제곱해서 i가 되는 수를 표현하기 위해서 수 체계를 그런 식으로 매번 또 확장할 필요는 없다는 것이 이 기본정리의 핵심이다. 복소수만으로 족하다~!! 이건 굉장히 위대한 업적이다.

4. 미적분의 기본정리(calculus)

(1) 적분은 미분의 역연산 관계이다~!! 이건 서로 다른 기원에서 출발한 지수와 로그가 한데 만나고, 물리에서 전기와 자기가 한데 만나서 전자기학이 된 것과 같은 엄청난 발상의 전환이 됐다.
그리고 (2) 구간 정적분 값은 부정적분의 끝점값과 시작점의 차이를 통해 아주 '간편하게' 구할 수 있다.
배배 꼬아 놓은 복잡한 미적분 문제 끌어안고 끙끙대기 전에 한번쯤.. 도대체 어떻게 해서 이 엄청난 일이 가능한지 생각을 좀 하고 곱씹을 기회가 있어야 학교 수학 시간이 덜 괴로울 것이다.

교회에서 배운 '일곱 침례, 일곱 심판, 다섯 왕관' 이런 게 떠오르더라.
요한의 침례, 회개의 침례, 물 침례, 불 침례 등등..
그리고 생명의 왕관, 썩지 않을 왕관, 환희의 왕관, 의의 왕관 등등..처럼.
수학에 기본정리가 분야별로 몇 가지가 좀 존재하듯 가끔은 성경도 좀 이꽈 마인드로 엄밀하게 접근하고 분류· 분석하고 파고들 필요가 있다. 온갖 무질서와 혼돈을 예방하려면 말이다.

  • i로도 모자라서 j, k 까지 갖다붙인 사원수라는 것도 있다. (서로 모두 다른 세 수 i,j,k가 존재하여 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1인 체계. 마치 행렬처럼 곱셈의 교환 법칙이 성립하지 않음) 하지만.. 이건 대수적인 필요에 의해 만들어진 수 체계는 아니다.
  • 수학에서는 유한 번이냐 무한이냐를 따지지만, 전산학에서는 컴퓨터의 계산 성능을 현실적으로 감안하여 다항함수(polinomial) 시간이냐 지수함수 시간이냐를 따지는 편이다.

* 수와 함수

정수/유리수 계수 방정식의 근이 될 수 있는 수를 '대수적인 수'라고 하고, 그렇지 않은 수를 초월수라고 부른다. 그런데 5차 이상의 방정식의 일반해는 분명 복소수의 범위를 벗어나지 않고 대수적인 수이기까지 함에도 불구하고 유한 번의 사칙· 거듭제곱· 제곱근 조합으로 표현할 수 없다.
이는 정말 기괴하고 독특한 성질이다. 단순히 지수함수 수준으로 미치도록 복잡해지기만 하는 게 아니라 "답이 아예 없음. 절대 불가능"이 되는 것이다.

함수도 다항함수나 유리· 무리함수를 넘어서 지수· 로그· 삼각함수 같은 것들은 유리수(특히 정수가 아닌..)를 집어넣었을 때 어지간하면 다 초월수가 튀어나오기 때문에 '초월함수'라고 불린다. 그런데 고등학교 수준의 저런 함수들은 비록 초월함수이지만 해석학의 관점에서는 e^x 어쩌구에서 크게 벗어나지 않는 친근(?)한 놈들인 관계로.. '초등함수'라고 해서 별도로 분류된다.

부정적분은 미분과 달리 '초등함수'에 대해 닫혀 있지 않다. x^x나 e^(x^2) 같은 함수만 해도.. 미분과 달리 부정적분은 기존 초등함수들의 조합이나 사칙연산 합성으로 표현할 수 없는 형태가 나온다.
이건 대수적인 수가 기존 산술 연산에 대해 닫혀 있지 않은 것처럼 아주 신기한 면모이다.

* 방정식

방정식은 미지수의 성격 내지 풀이 방법론에 따라 다음과 같이 범주가 나뉜다.

  • 일변수 n차 대수: 앞서 대수학의 기본정리에서 언급한 바로 그놈이다. 변수는 하나인데 그 변수가 스스로 곱해질 수 있다.
    다항식 형태가 아닌 유리· 무리방정식은 양변을 적절히 곱하고 나눠서 다항식 형태로 변형한 뒤에 푸는데, 이것들은 애초에 다항식이 아니기 때문에 다항식 변형 버전에만 존재하는 무연근을 걸러 줘야 된다.
  • 다변수 연립: 차수는 높지 않은 대신, 변수와 식이 많은 동네이다. 변수와 식이 하나 추가될 때마다 식을 분석하는 원론적인 시간 복잡도는(행렬식의 일반항) 팩토리얼 급으로 복잡해지고, 실용적으로 문제를 푸는 복잡도는 행렬의 곱셈에 준하는 3제곱으로 증가한다.
  • 점화식: 재귀적으로 정의되는 식의 일반항을 구하는 문제인데.. 이것도 항이 하나 늘어날 때마다 특성방정식의 차수가 하나씩 올라가고 복잡도가 급격히 올라간다.
  • 미분방정식: 연속적인 물리량의 변화를 중요하게 따지는 공대에서 매우 중요하게 다루는 도구이다. 어떤 함수의 부정적분, 즉, 역도함수를 구하는 문제부터가 아주 기초적인 미분방정식을 푸는 것과 같다. 그런데 이것도 해석적으로 정확하게 풀 수 있는 문제가 별로 없고 극도로 어렵다.

방정식의 바리에이션으로는 이런 것들이 있다.

(1) 부등식: 방정식 풀듯이 풀면 되는데, 여기서는 부등호의 방향을 좀 생각해야 한다. 그리고 부등식은 그 특성상 복소수는 생각하지 않고 도메인이 다시 실수로 좁아진다.
방정식 동네에 상호 동치를 나타내는 항등식이라는 게 있다면, 부등식 동네에는 어떤 수를 넣어도 성립하는 절대부등식이라는 게 있다. 중등 수학 수준에서는 코시-슈바르츠 부등식이라든가 산술-기하-조화평균 부등식이 유명하다.
다변수 연립으로 있는 부등식을 푸는 건 최적화와 관련하여 실용적으로도 매우 중요한 문제이다.

(2) 합동식: 여기는 범위를 실수보다도 더 좁혀서 자연수만 상대하는 동네이다. 어떤 수로 나눈 나머지가 같은 수들을 합동이라고 간주하면서 여기만의 굉장히 복잡한 조건을 만족하는 수를 찾는다. 이건 정규 교육과정에서 다루지 않고 공대에서도 딱히 다루지 않기 때문에 수학 올림피아드 하는 애들의 전유물이다.

다음 둘은 영역이 서로 별개이지만, 둘 다 끔찍하게 어려우며 대수적으로 정확한 일반해를 구할 수 없는 문제라는 공통점이 있다.

  • 공기가 있는 곳에서 비행체의 운동을 기술하는 나비에-스토크스 방정식..
  • 공기가 없는 곳에서 천체의 운동을 기술하는 3체/다체 문제..

전자의 경우 수치해석이나 시뮬레이션, 심지어 풍동 실험실이 여전히 유효한 지경이다.
후자는.. 우주에서 일부 듣보잡 소행성들이 깔끔 단순한 원뿔곡선이 아니라 훨씬 더 복잡하고 꼬불꼬불하고 무질서한 궤도를 그리는 이유가 이 때문이다.

Posted by 사무엘

2022/05/15 08:35 2022/05/15 08:35
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숫자 드립 + 기타

10 이하의 소수(prime number)인 2, 3, 5, 7을 소재로 수집한 여러 잡생각들이다.

※ 2

짝수 중에 유일한 소수라는 점에서 큰 의미를 가지며, 2진법 정도면 0과 1, 같고 다름을 분별할 수 있는 최소한의 숫자 체계가 성립하기 때문에 2는 이산수학과 전산학에서 매우 큰 의미를 갖는다. 그 분야에서는 2가 로그 함수의 밑(base)으로도 즐겨 쓰인다. 이분법, 흑백 논리, 음양설 등의 사상적 근간이 되는 수라는 것은 덤.

2가 지니는 전통적인 의미는 위와 같은데, 2010년대부터 한국에서는 모 스타크래프트 프로게이머 때문에 '콩라인'이라는 의미로 2가 매우 유명해지기도 했다.
또한, 본인이 특별히 주목하는 2의 특성으로는,

  • 태양계의 행성 중 태양에서 둘째로 가까운 금성만이 유일하게 짙은 이산화탄소가 가득한 끔찍한 불지옥이다. 그것도, 지구와 가장 가깝고 지구 다음으로 생명체가 살기에 가장 적합할 수도 있었을 행성이 말이다.
  • 성경의 창세기 1장을 보면, 창조 기간 중 둘째 날에만 “하나님 보시기에 좋았더라”라는 말이 없다.
  • 서울 지하철 중 2호선만이 유일하게 순환선이며, 낡은 플랩식 전광판이 2010년까지 가장 늦게까지 남아 있었다.
  • 주찬양 선교단의 과거 앨범 중 2집만이 구성이 특이했으며, 10주년 기념 음반에는 1~7집 중 유일하게 2집의 곡만 단 한 곡도 수록되어 있지 않다.

이러한 징크스도 있다.

※ 3

삼위일체라든가 영-혼-몸 같은 개념 때문에, 3은 성경과 기독교의 관점에서 상당히 친근하고 긍정적인 수이다.

세상에는 '3요소'라는 특성으로 이뤄진 것들이 무척 많다. 우리가 사는 공간이 가로-세로-높이의 3차원이고, 시각 정보를 구성하는 색상 역시 RGB든 그 어떤 형태로든 3요소로 분할된다는 건 우리에게 시사하는 바가 매우 크다.
거기에다 인간의 언어의 음운조차도 크게 세 부분으로 이뤄져서 한글이 초· 중· 종성의 세벌식으로 구성된 것은 덤이다. 어쩌면 삼라만상이 어딜 가든 개념적으로 3으로 가득한 걸지도 모른다.

또한 컴퓨터 소프트웨어도 허접한 버전 1이 처음 나왔다가 과도기인 2를 거친 후, 제 3의 메이저 버전에 와서야 후대에까지 이어지는 뼈대가 완전히 정착된 경우가 적지 않다.
마이크로소프트 Windows는 3.0부터가 상업적으로 성공한 버전인 건 잘 알려진 사실이거니와, 국산 소프트웨어 중에서도 안 철수 씨의 바이러스 백신은 Vaccine III에서 유래된 V3이라는 브랜드가 정착한 것이다.

본인이 개발한 <날개셋> 한글 입력기도 에디팅 엔진과 기본적인 파일 구성, 그리고 각종 클래스 구조의 뼈대는 2004년에 완성된 3.0에서야 정착했으며, 그 여파로 인해 커널의 파일 이름도 ngs3.dll이다. 또한 최 정한 씨가 과거에 개발했던 셸 유틸리티인 MDIR도 정식 명칭은 MDIR-III이다.

※ 5

사람의 손가락과 발가락이 5개 단위이기 때문에 이 수는 우리에게 아주 친숙하다. 약수가 더 많아서 더 유용한 8이나 12가 아니라, 10이 기수법의 기준으로(10진법) 전세계에 보편적으로 통용되게 된 것은 전적으로 이것 때문이다.

그에 반해 손· 발가락이 5개보다 더 많아서 6개 정도 되는 건 전형적인 기형(다지증) 내지 괴물의 상징으로 간주되었다. 성경에도 고대에 손· 발가락이 6개인 거인 괴물 혈통이 있었다는 기록이 전해지며(삼하 21:20; 대상 20:6), 로스웰 추락 UFO 외계인 시체 해부 동영상에도 문제의 외계인의 사지엔 가락이 6개 달려 있다.
(비록 그 동영상은 훗날 낚시 자작극으로 판명이 됐지만, 1947년에 일어난 로스웰 사건 자체는 존재를 부정하기 어려운 듯하다. 그 자작극을 꾸미고 외계인 세트를 만든 사람도, 외계인이니까 손발가락을 5개가 아니라 일부러 6개로 설정했다는 것에 주목할 필요가 있다.)

5에서 수학적으로 더욱 큼직한 의미가 들어있다. 하필 5차 방정식부터가 대수적인 방법으로 일반해를 구하는 게 불가능하다는 것. 쉽게 말해 근의 공식 같은 만능 공식이 있을 수가 없다는 뜻이다.
3차나 4차의 경우, 비록 2차 방정식의 근의 공식 따위와는 비교도 못 할 정도로 복잡하고 어려운 형태이긴 하지만 근의 공식이 있긴 하다. 왜 5차부터 그마저 원천적으로 안 되는 걸까?

유한한 횟수의 사칙연산과 거듭제곱/제곱근의 묶음만으로는 표현할 수 없는 수가 방정식의 근으로 튀어나올 수 있기 때문이다. 근의 공식이 사용하는 연산 수단의 범위 자체를 넘어서는 수가 대수방정식의 근이 될 수 있다는 뜻이다. 그러면서도 정의상 초월수는 아니다. 흠..

예를 들어, 5차보다 한 차원 더 높은 6차 방정식 x^6+x^2-7=0 의 근 중 하나는 다음과 같다.

사용자 삽입 이미지

식은 정말 간단한 형태이지만 근은 가히 미치도록 복잡한 형태이지 않은가? 사람 손으로 계산하기란 거의 불가능한 경지임을 알 수 있다. 그래도 이 수의 6제곱과 2제곱을 더하면 딱 정확하게 7이 나오긴 한다. 이건 그나마 대수적인 범위에 근이 존재하는 사례이다.

그런데 이런 형태로 나오지 않는 근은 도대체 정체가 뭘까?
이걸 제대로 증명하고 이해하려면 군론을 비롯해 온갖 추상적이고 복잡하고 어려운 수학 이론을 동원해야 하며, 나도 거기까지는 잘 모른다. 다만, 초간단한 방정식 x^n=1만을 생각해 보자. 이 방정식의 근은 드 무아브르의 공식에 따라 복소평면에서 원점이 중심이고 반지름이 1인 원에 내접하는 정n각형의 꼭지점을 이루고 있다.

그러므로 180/n도 중, cos/sin값이 대수적인 수로 딱 떨어지지 않는 각도라면, 응당 대수적인 방법으로 나타낼 수 없는 근이 존재하게 된다고 대략 짐작 정도는 할 수 있을 것이다. 가령, n=7인 정칠각형 같은 것 말이다. 그리고 x^n=1부터가 그러하니, 다른 낮은 차수의 계수까지 섞이면 7차가 아닌 5차에서부터 다항식 기반 방정식의 복잡도가 안드로메다로 치솟는가 보다. 나의 수학 감각으로는 이해력이 여기까지가 한계이다.

그런데 어째 수학 패키지들은 그런 복잡한 방정식에 대해서도 근을 numerical한 방법으로 그것도 실수뿐만이 아니라 복소수 범위에서까지 다 찾아 주며, 5차 이상의 방정식이라도 대수적인 방법으로 근을 구할 수 있는 형태라면 아까의 예에서 본 것처럼 근사값이 아니라 symbolic하게 정확한 근을 찾아 주기까지 한다. 도대체 무슨 귀신같은 수치해석 알고리즘을 썼는지 모르겠다.

※ 7

열 손가락 안에 드는 수 중에서 가장 큰 소수인 7은 역수를 10진법으로 나타냈을 때 꽤 긴 순환소수가 등장하는 최초의 수이다. (0.142857...)
정다각형 중에서도 정칠각형은 3~6이나 심지어 8, 10에 비해서는 정말 듣보잡이다. 5는 그래도 황금비하고라도 관련이 있고 작도도 가능한데 반해, 7은 생긴 모습이 안정적이거나 예쁜 구석이 도무지 없고, 수학적으로 작도가 불가능한 최초의 정다각형이다. 자동차의 바퀴를 봐도 휠너트가 7개가 달린 경우는 전혀 없다.

그럼에도 불구하고 현실에서 7의 존재감이 가장 분명하게 나타나 있는 분야는 크게 두 곳인데, 한 주가 전세계 공통으로 7일이라는 점, 그리고 음악에서 한 옥타브의 음계가 하필 7음으로 구성된다는 점이다.

더 나아가 성경에서 숫자의 쓰임에 대해 면밀히 연구해 본 일부 사람들은, 하나님은 이런 불편하고 괴상한 숫자인 7을 무척 좋아하며, 내부적으로 7진법을 사용하시는 게 분명하다고 주장한다. 그래서인지 성경의 책들 중에서도 특히 요한계시록은 온통 7패턴으로 넘쳐나는 책이지 않던가. 무지개의 색깔이 관습상 7개로 분류되고 7이 웬지 행운의 숫자로 여겨지는 게 완전 터무니없는 엉뚱한 심상은 아니라는 뜻 되겠다.

여호수아기에서 여리고 성을 함락시키는 작전을 보면 이스라엘 백성은 6일 동안은 성을 한 바퀴 돌고, 일곱째 날에는 성을 일곱 바퀴 돈 뒤에 함성을 질렀는데 성이 무너졌다(수 6). 그와 비슷한 맥락으로, 계시록에서는 일곱 개의 봉인이 열리는데 마지막 봉인이 열리자 일곱 나팔이 나오고, 마지막 나팔 타이밍 때 재앙이 담긴 일곱 병.. 이런 식으로 이벤트가 꼬리에 꼬리를 잇는다.

과거에 스탈린 휘하의 구소련은 1930년대에 달력에서부터 종교색을 완전히 걷어내겠다는 의도로 독자적인 달력과 1주 5~6요일 체계를 사용한 적이 있었다. 그러나 그 시도는 오래 가지 못하고 실패했다. 7의 존재감은 아무래도 우리가 이제 와서 부정할 수 없을 정도로 깊숙히 파고든 게 분명하다.

※ 기타

1. 5차 방정식 얘기가 기왕 나왔으니 말인데, 수학에서 이런 식의 미지의 영역은 방정식 근 찾기뿐만 아니라 적분에도 있다. 미분은 합성함수나 곱에 대한 미분이 general하게 정립이 돼 있기 때문에 어떤 함수든 미분하기는 쉬운 편이다. 그러나 적분은 그렇지 않다. 부분적분은 말 그대로 식의 형태를 치환 같은 다른 적분 테크닉을 적용하기 유리한 형태로 변형하는 것일 뿐이기 때문에 만능이 아니다.

위키백과에 예가 제시되어 있듯, x^x, exp(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x) 같은 함수들은 부정적분이 어떤 특성을 갖는 함수인지 기존 초월함수들의 조합만으로는 형태가 기술이 되지 않는다.

까짓거 조립은 분해의 역순이고, 적분은 미분의 역순이 아닌가 하는 생각이 들지도 모르나, 수학의 세계는 그렇지 않은 모양이다. 마치 1/x를 적분했더니 ln x(+C)라는 완전히 생소한 함수가 튀어나온 것처럼, 미지의 발상의 전환이 필요한 듯하다.

2. 과학은 창조론과 진화론, 그리고 심지어 천동설-_-과 지동설 같은 이슈 때문에 종교계와 충돌할 거리가 있었다. 하지만 수학은?
“그래도 지구는 돈다.”도 아니고, “그래도 루트 2는 무리수이다.”, “그래도 파이는 초월수이다” 이런 것 때문에 교황청으로부터 무슨 수학자가 박해 받았다거나 하는 역사는 내가 알기로 없다.
설마 대하 4:2 같은 구절을 들고서 원주율은 3이라고 드립을 쳤다거나 하지는 않았을 테니 말이다. -_-;; 그럴 거면 차라리 H2O가 산소라고 드립을 치는 게 낫겠다. ㅋㅋㅋ

Posted by 사무엘

2012/10/19 08:21 2012/10/19 08:21
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방정식

수학에서 방정식이란, 미지의 변수가 존재하여 이 변수의 값이 무엇이냐에 따라 성립 여부가 달라지는 등식을 말한다.

사실 일차방정식.. 즉, 미지수에 대해서 잘 해 봤자 상수배의 곱만 존재하는 간단한 방정식만 해도 인간의 지적 수준을 크게 끌어올릴 수 있다. 가령, "아날로그 시계에서 5시와 6시 사이에 긴 바늘과 짧은 바늘이 겹치거나 직각이 되는 시각은?" 같은 것도 일차방정식으로 풀어 낼 수 있으며,
마음속으로 어떤 수를 생각해서 뭘 곱하고 뭘 했는데 언제나 무슨 수가 딱 떨어지게 나오는 것은 마술이나 독심술이 있어서 그런 게 아니라 구조적으로 그렇게 될 수밖에 없다는 것을 증명할 수 있다는 말이다. 놀랍지 않은가?

그리고 차수는 일차인데 변수가 여러 개인 경우가 있다. 미지수도 n개이고 식도 n개. 이런 형태의 문제를 푸는 것은 실용적인 가치가 대단히 높기 때문에, 행렬이라는 추상적인 모델로 간단히 표현하여 선형 대수학이라는 별도의 분야까지 수학에 존재한다. 개인적으로 행렬도 굉장한 발견이라고 생각함. 이런 개념을 만듦으로써 어마어마한 양의 문제를 손쉽게 해결할 수 있게 됐기 때문이다.

식에 미지수 자체의 제곱이 들어있으면 이차방정식으로 방정식의 격이 올라간다. 여기서부터는 제곱근, 인수분해 같은 개념이 등장하고 예전보다 살짝 더 어려워진다. 하지만 2차 정도는 인수분해 뿐만 아니라 일반해를 구하는 근의 공식조차 유도가 가능하다. 이미 수백 년 전에 발견되기도 했고, 그렇게 어렵지 않다.
이공계를 나온 친구라면, 비록 입시 코스를 통과했더라도, 수학 감각 자가유지 테스트 차원에서라도 근의 공식 유도 정도는 이따금씩 해 볼 만하다.

참고로 이차방정식의 양변을 x로 나누면 분수 방정식이 된다. 그래프 모양은 2차 방정식과 완전히 다르지만, 반대로 양변에 x를 곱해서 이차방정식 풀듯 풀면 된다. 단, 풀고 나서는 분모를 0으로 만드는 무연근만 버리면 된다. (수학에서 0으로 나누는 게 용납된다면 "모든 수는 0이다" 같은 궤변도 증명할 수 있고 별별 게 다 가능해진다.) 분수 방정식은 비록 정석적인 형태는 아니지만, 조화평균처럼 나눗셈이 수반되는 곳에 미지수가 있을 때 쓰인다.

2차 방정식보다도 차수가 올라간 3차 이상부터는 일반해를 구하는 공식은 2차 방정식의 근의 공식과는 비교도 못 할 정도로 살인적으로 복잡해진다. 대학교 수학과 교수라도 안(못) 외운다. ^^ 학교에서 3차 이상의 고차 방정식은 인수분해가 안 되는 이상한 식이 다뤄지는 일은 없다고 생각하면 된다.

3차 방정식은 2차항을 소거하여 x^3 + p*x + q = 0 형태로 바꾼 후 푼다. 즉, 임의의 3차 방정식은 저 꼴로 본질적인 정보량을 줄일 수 있다는 뜻이다.
본인의 지인 중엔 손으로 3차 방정식의 일반해 공식을 스스로 유도해 냈다고 자랑하던 녀석이 있었다. 뼛속까지 수학과 물리를 진심으로 벗삼아 즐기는 놈인데, 흠좀무.

4차 방정식 역시 일단 3차항을 소거한 뒤 풀이하는데, 임의의 케이스에 대한 일반해 공식은 3차보다도 더욱 길고 아스트랄하다. 과연 대수학(algebra)의 무서움이다. 그냥 저런 게 있다는 것만 알고 넘어가면 된다. 실용적인 가치는 별로 없으며, 실생활에서 그 정도 방정식을 풀 일이 있으면 그냥 numerical하게 근사해를 사용해도 아무 지장 없다.

그런데..
문제는 5차 이상부터이다.
수학 쪽으로 조금만 상식이 있는 분이라면 잘 알 것이다.
5차 이상의 방정식은 대수적인 방법으로 해를 구하는 방법이 존재하지 않는다.
P=NP 같은 것처럼 아직 해답을 못 찾은 게 아니라, 원천적으로 절대 존재 불가능하다는 게 증명이 되어 있다.

인수분해가 안 되는 놈이라면 얄짤없이 포기하고 일찌감치 numerical 근사해로 만족하라는 뜻.
왜... 왜 없는 것일까? 그것도 왜 하필 5차부터?

2차부터 4차까지 일반해를 대수적으로 구하는 근의 공식을 살펴보면
비록 말도 못 하게 복잡하더라도 그 연산 자체는 평이하며 우리의 이해가 가능한 수준이다. 식의 계수에 대해서 적당하게 사칙 연산 씌우고, 거듭 제곱하거나 (거듭) 제곱근을 구하는 작업을 유한 번 적용해 주면 답이 나온다. 즉, 이들 방정식의 해는 대수적 연산이라는 언어로 기술이 가능하다. (좀 전산학적인 개념이 들어가는군..)

그런데 5차 이상의 방정식은 해 자체가 그런 대수적인 방법으로 얻을 수 없는 수에 존재할 수 있다는 걸 증명해 냄으로써,
일반해 공식이 원천적으로 존재할 수 없음을 증명한 것이다.
아니, 사실은 저것도 직접적인 증명이 아니라, 5차 방정식의 일반해를 대수적인 방법으로 기술했을 때 모순이 생긴다고.. 귀류법을 이용해 증명했다.

헐, 그런 수는 도대체 어떻게 생겨먹은 수이며 어떤 특성을 가질까? 루트라든가 기존 대수적 조작을 통해서 특성을 기술할 수 없는 수? 그런데 그렇다고 해서 초월수도 아니고?? 아마 이런 수는 별 특성이 없고 의미가 없다 보니 그렇게 연구가 잘 안 돼 있는 것 같다.
그리고 왜 하필 5차부터 그런 경우가 생기는 걸까? 잘 모르겠다. 그런 걸 알면 내가 이 자리에 안 있지.. ㅋㅋㅋ

※ 외전: 방정식 연구자들의 말로

3차 방정식의 근의 공식을 최초로 찾아낸 사람은 타르탈리아라는 수학자이다(16세기 사람). 그는 이 사실을 절대로 외부에 발설하지 말라는 조건을 걸고 카르다노라는 의사 겸 수학자에게 해법을 전수해 줬는데... 제자인지 라이벌이지 뭐 어떤 사이인지는 모르겠다. 그런데 이 카르다노라는 양반, 아예 책을 써서 해법을 공개적으로 발설하는 것도 모자라서, 그걸 자기 이름으로 떠벌리면서 3차 방정식의 해법의 발견자로 '카르다노'라는 이름을 학계에 당당히 올려 버렸다.

타르탈리아로서는 "저런 쌍노무 새퀴, 인간말종 호로자식을 봤나!" 정말 이성을 잃을 정도로 노발대발하고 카르다노를 향해 매일 축시의 저주를 거행했을 것이다. -_-;; 그것 때문이었을까? 카르다노는 아들이 어머니(=카르다노의 아내)를 살해하고 그 죄에 대한 벌로 아들도 덩달아 처형 당하는 가정 팀킬-_-을 겪었다. 그 역시 도박에 빠져 가난하게 지냈으며, 나중엔 죽는 날짜를 예고한 후 자살로 생을 마감했다. 하긴, 타르탈리아도 그 천재성에 비해 가난하고 어린 시절이 불우했으며 후천성 장애를 얻어 말더듬이였으니 더욱 안습.

4차 방정식의 근의 공식은 카르다노의 제자이고 사실상 그의 양자였을 거라고 추정되는 로도비코 페라리가 최초로 발견했다. 이쪽은 다 16세기 이탈리아 라인이구나. 그런데 그 역시 술과 도박에 빠져 지내다 손가락 장애를 얻고 나중엔 무려 애인 또는 여동생으로 추정되는 여인에게 독살 당했다. -_-;;

그리고 끝으로, 5차 이상의 방정식에 대한 연구는 19세기에 와서야 잘 알다시피 갈루아와 아벨이라는 두 천재 덕후 수학자가 확실하게 종지부를 찍었다. 수학사를 조금이라도 아는 사람이라면 이들이 얼마나 불운한 천재였는지 알 것이다.
닐스 헨릭 아벨(노르웨이)은 5차 이상의 방정식은 대수적으로 풀이가 불가능하다는 것을 최초로 증명하고 이외에도 여러 분야에 탁월한 논문을 남겼다. 그 분야 중 하나는 타원 함수는 아마 20세기 말에 와서 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데도 쓰인 이론인 걸로 알고 있다.

그런데 그는... 너무 천재여서 능력을 인정을 못 받은 채, 가난에 찌들고 살다가 26세의 나이로 결핵과 영양실조로 인해 사실상 굶어 죽었다... ㅎㄷㄷㄷㄷㄷ 그가 죽고 나서 이틀 뒤에, 드디어 베를린 대학 교수로 임용됐다는 편지가 도착했으니, 지못미 아벨. ㅠ.ㅠ

갈루아(프랑스)는?? 아벨보다 더하면 더하지 못하지는 않은 덕후였다. 불세출의 논문을 하나 쓴 게 프랑스 과학원의 병신 같은 실수로 인해 분실되어 심사도 제대로 못 받았고, 겨우 21세의 나이로 치정 문제에 연루되어 권총 결투 중에 목숨을 잃었다...;;;
죽기 전날 유언장처럼 쓴 노트가 후대의 수학자들을 놀라게 한 논문이 되었다. 그는 아벨과는 다른 방법으로 5차 방정식의 대수적 풀이 불가능성을 증명하고 더 나아가 n차 방정식의 대수적 풀이 가능 조건을 논하면서 군론(group)이라는 분야를 개척했다. 군 이론에 기초한 방정식의 갈루아 이론은 완전히 이해되는 데만 70년이 넘는 시간이 걸렸다.

Posted by 사무엘

2010/03/17 21:38 2010/03/17 21:38
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