지구를 두르고 있는 띠 문제

아는 분들은 이미 다 알 만도 한 문제이지만...;;

우리가 사는 지구가 편의상 반지름이 대략 6400km 정도 되는 완전한 구라고 가정하자. 그리고, 이 지구의 적도 부분을 띠로 둘러서 꽉 조인 매듭을 만들었다고 치자. 그러면 이 띠의 길이는 원의 둘레에 해당하므로, 반지름에다 2π를 곱한 약 4만 km 정도의 길이가 될 것이다.

그런데 원둘레에 딱 맞던 이 띠의 길이를, 사람 키보다 약간 큰 정도인 2m만치 더 늘렸다. 다시 말하자면 4만 km에 달하는 띠의 길이를 겨우 2m 더 늘린 것이다. 띠는 이제 원둘레보다 눈꼽만치 더 길어졌고 헐렁해졌다. 그래서 띠를 지표면으로부터 모든 구간을 균일하게 띄워서 다시 빳빳하게 만들었다. 그렇다면 이 띠는 지표면으로부터 얼마나 떠 있을까? 띠가 더 길어진 게 티가 나긴 할까?

이 문제의 답을 감으로 당장 떠올린 것과,
연필을 들고 수학 공식을 세워서 푼 것과는 어떤 차이가 있는지 생각해 보자.

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잘 알다시피, 띠를 겨우 2m 확장했을 뿐이지만 그 넓은 지구의 지표면으로부터 띠는 무려(?) 30cm가량은 지표면으로부터 균일하게 떠 있게 된다.
그리고 이 30cm라는 수치는 행성의 반지름과는 전혀 관계없다. 지구가 아니라 목성의 적도를 두르고 있는 띠라 하더라도, 띠를 2m 확장했다면 띠의 반지름은 지표면으로부터 무조건 30cm씩 더 올라가게 된다. 그러므로 지구의 반지름이 6400km이고 띠의 길이가 4만 km라는 사실에 주의를 환기시킨 것은 훼이크요 낚시 교란 작전일 뿐이었다.

지표면에서 30cm 뜬 것 자체도 반지름이 이미 수천 km에 달하는 지구의 관점에서 보면 새 발의 피, 손톱의 때도 안 되는 보잘것없는 변화량이다. 그러나 우주의 관점에서 본 변화와 지표면에서 본 상대적인 변화의 폭은 서로 다르게 느껴질 수밖에 없으며, 인간의 직관은 그런 것을 혼동하기 쉽다. 이 문제는, 마치 인간의 눈이 착시 현상을 일으키는 것만큼이나 인간의 생각 역시 편견과 실수에 빠지기 쉬움을 보이는 좋은 예라는 생각이 든다. 그런 인간 두뇌의 한계를 보완하고자 수학이라는 사고 체계가 발달한 것이다.

Posted by 사무엘

2010/07/17 17:13 2010/07/17 17:13
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  1. 김 기윤 2010/07/18 20:46 # M/D Reply Permalink

    (단위는 모두 미터)
    반지름을 r 이라 할 때
    띠의 길이는 2πr.
    길이가 2 길어졌다고 하면 길어진 띠의 길이는 2πr+2

    그러면 다시 둘레가 2πr+2 의 반지름은 이것을 2π 로 나눈 값이므로
    r+1/π ... 1/π는 약 0.318
    즉, r 과 상관없이 띠의 길이가 2m 길어지면 반지름은 31.8cm 증가..

    -------------------------------------------------------

    연필이 아니고 컴퓨터와 키보드, 그리고 윈도우 내장 계산기(..)가지고 계산해 보았는데 정말 놀랍군요 -_-;

  2. 나그네 2010/07/19 18:58 # M/D Reply Permalink

    정말 놀랍고도 신기한 문제였네요
    2m 늘렸을 뿐인데 지구에서 30cm나 띄워지다니 말입니다.
    다시 수학책 꺼내서 공부해야 할까봐요.

  3. 사무엘 2010/07/19 21:12 # M/D Reply Permalink

    저도 이 얘기를 처음 들었을 때 굉장히 놀랐더랬죠.

    직관만 믿다 수학적으로 낭패 볼 수 있는 좋은 예를 또 들자면 기하급수가 있습니다.
    "하루 품삯 쌀 한 톨, 이튿날 두 톨, 다음날 네 톨... 이렇게 해서 30일치 분량의 쌀알을 주십시오"
    이런 거래를 해서 나중에 부잣집 주인을 떡실신시킨 농부 이야기도 있잖아요? ㅎ

    1. 소범준 2011/12/06 00:58 # M/D Permalink

      그런가 하면, 복리법 계산에서도 그런 실수를 많이 하는 것 같더군요. 저는 이걸 처음 배울 때 n달이 지난 뒤 찾아온 예탁금과 n달까지 매월 찾아온 예탁금의 총합(원리합계)을 헷갈리곤 했었죠.

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