김 용묵의 절대공간 - 블로그

내가 기독교 신앙, 특히 이단과 관련해서 굉장히 답답하게 생각하는 사고방식의 예를 좀 들면 다음과 같다.

(1) 창세기의 간극 얘기를 들으면 뭔 듣도 보도 못한 김 기동이니 귀신이니 아담 이전 인류(?) 이런 거 떠올리지 말고, “왜 둘째 날에는 ‘보기 좋았더라’가 없을까? 그러게, 물과 땅은 언제 창조됐고 루시퍼는 언제 타락했을까? 예레미야서에도 without form and void가 나오는구나!”를 좀 생각해 보자.

(2) 구원의 영원한 보장 얘기가 나오면 뭔 구원파 생각 좀 하지 말고, 바울 서신서가 실제로 뭘 말하며, 모순되는 듯한 히브리서 야고보서가 뭘 말하는 것이겠는지 생각하는 시늉이라도 해 보라.

(3) 왕국 얘기가 나오면 여호와의 증인 왕국회관 따위 생각하지 말고, 성경 용어가 kingdom이고 예수님이 왕 중 왕이며 통치 형태가 왕국이라는 걸 좀 생각하자.

(4) 휴거 얘기가 나오면 다미선교회니 뭐니부터 생각하지 말고, 살전 4:16-17을 제발 좀 먼저 떠올려 보자~!

하.. 이런 분들은 정말 오로지 이단 소리 안 듣는 것에만 목숨을 거는 것 같다. 그게 뭐 그리 대수라고? ㅡ,.ㅡ;;; 세상으로부터의 편견이 그렇게도 두렵나?
이런 사고방식이니까 요한계시록을 읽는 게 통째로 금기시되고, 교회들이 대문 앞에다가 “신천지 출입금지”라고 써 붙이는 것 같다.

이단들이 “우리도 성경 믿어요, 성경 공부해요~!” 이러면 이분들은 아예 성경 읽고 공부하는 걸 그만두지 싶다. =_=;;
거리설교를 이상하게 보고, 구원 확인 질문을 불쾌히 여기는 것도 이런 사고방식과 일맥상통하는 듯하다. 아니, 예수 믿어서 은혜로 구원이 없으면 그건 기독교라고 부를 수 없잖아..!!!

그리고.. 신천지 추수꾼이 교회에 쳐들어와서 집기를 부수고 폭력을 쓰고 난동을 부리면서 예배를 방해한다면야 그러면 경찰에 신고하고 세상 공권력의 도움을 받아야 할 것이다. 그러나 저건 좀..;; 성경의 비유를 이상하게 갖다붙여서 이단 교리 펴는 것까지도 경찰에다 신고해서 강제로 찍어누르고 금지시킬 생각인가?? ㅡ,.ㅡ;;
무슨 무한리필 부페 식당 입구에 “운동부 회식 금지”라고 써 놓은 것 같기도 하고.. 좀 민망하다.;;

그래서 본인은 제안한다.
“나는 저 이단들과 같지 않음을 감사하나이다” 이렇게 쪼잔하게 지내지 말고,
“이렇게 단순하고 상식적으로 건전하게 성경대로 믿는 게 이단이면 난 그냥 이단 소리 듣고 말겠다” 같은 대인배 마인드를 가져 보면 어떨까? 자기가 믿는 것, 자기가 가는 신앙 노선에 대한 확신을 좀 가져 보시라.

“나는 그들이 이단이라 하는 그 길을 따라 내 조상들의 하나님께 그렇게 경배하고 율법과 대언자들의 글에 기록된 모든 것을 믿나이다.” (행 24:14) 말씀을 좌우명으로 삼고, 가슴 펴고 통 크게 살아 보시라~!!

난 자동차, 철도, 컴퓨터, 호박, 멧돼지, 군사, 역사 등 이것저것 온갖 잡학에 관심이 많은 편이긴 한데..
저런 미주알고주알 진짜 이단(?)들 교리는 거의 모른다. 정답만 알면 되지 오답을 일부러 공부할 필요는 전혀 없으니까..
정답의 일부가 오답이랑 비슷해 보이는 건 정답의 잘못/탓이 전혀 아니다.;; 그리고 비슷해 보여도 실상은 전혀 같지 않은데 같은 줄로 착각하는 건 당사자의 잘못일 뿐이다.;;

※ 보너스: 후대 드립

내 경험상, 자신들이 지지하지 않는 교리나 학설을 반박하기 위해서 사람들이 그 theory의 내용 본질을 저격하는 게 아니라 출처· 기원· 계보를 따지고 트집 잡는 경우가 종종 있다. 예를 들면 이렇다.

• 요일 5:7 삼위일체 요한의 콤마는 원래 성경 본문에 없었고 후대에 추가된 것이다.
• 젊은 지구 창조론은 웬 안식교에서 만들어낸 산물이다.
• 반대로 간극 이론은 토머스 캘머와 넬슨 다비 같은 19세기 최근 사람들이 세대주의에 입각해서 진화론에 대항하려고 따로 만들어 낸 것이다.
• 또 간극 얘기인데, replenish는 처음에 ‘다시’라는 뜻이 절대 절대 없었다. 후대에 진화론에 대항하려고 이런 의미가 재조명되고 추가됐다.

개인적으로는 이런 것도 교리를 직접 파고드는 게 아니라 진영논리 이단 프레임에 입각한 좀 비합리 비논리적인 사고방식이라고 생각한다.
안식교가 주장하건 몰몬 교가 주장하건, 성경이 6일이라고 말한 것을 6일이라고 그대로 믿고, 1천 년이라고 말한 것을 1천 년이라고 받아들이는 것은 올바르고 잘하는 것이지 않는가?

더구나 그렇게 기원· 출처를 따진 것이 정확하게 맞는 팩트조차도 아닌 경우가 왕왕 있다.
요한의 콤마는 피터 럭크만 박사의 반박 자료에 따르면, 이미 고대 로마 제국 교부 시절부터 멀쩡하게 있어서 삼위일체 교리를 방어하는 데 잘만 쓰였다.

간극 역시 19세기보다야 훨씬 전부터 사람들이 간파했다. 사탄 마귀의 타락과 이전 세상의 멸망이라는 개념 자체를 깨우치기 위해서 무슨 대단한 지성이나 과학 발견이 필요한 건 아니기 때문이다. 더구나 토머스 캘머도 찰스 다윈의 ‘종의 기원’의 출간보다 수십 년 이상 먼저 간극을 주장했었다.

replenish는.. 더 말을 하지 않겠다. 멀쩡히 중세부터 쓰였던 단어이고 더 강조해서 반복해서 채우고, 소모되어서 없어진 것을 다시 보충한다는 뜻이다. 애초부터 단순 fill과 동일한 단어가 아니었는데 이것도 무슨 재창조 교리를 옹호하기 위해서 의미가 왜곡된 거라는 소설은 어쩌다가 튀어나왔나 모르겠다.

Posted by 사무엘

'초등함수'에 속하는 '초월함수'들 중에 지수함수인 e^x는 미분을 하던 적분을 하던.. 도함수나 부정적분이 전부 자기 자신과 동일한 굉장히 특이한 기본 함수이다.
지수는 저렇고, 삼각함수/쌍곡선함수는 그냥 답정너 정의에 가깝게 미분-적분 순환고리를 그냥 외운다.
그럼 e^x의 역함수인 ln x는 부정적분이 과연 어찌 될까?

ln x는 도함수가 1/x라는 간단한 형태로 정의되는 덕분에, '부분적분'으로 부정적분을 구하는 아주 교과서적인 예로 다뤄진다.
부분적분은 곱의 미분법으로부터 유도되어 두 함수 F, G의 곱에 대해

F(x)G(x) = ∫ F'(x)G(x) dx + ∫ F(x)G'(x) dx

가 된다는 원리이다. 보통은 저것보다는 순서를 바꿔서

∫ F'(x)G(x) dx = F(x)G(x) - ∫ F(x)G'(x) dx

요런 형태로 더 소개되는 편이다.
ln x의 경우, 위의 부분적분에서 F는 그냥 x로, G는 ln x를 집어넣으면 바로 풀린다. 그러면 F'(x)는 1이라는 상수가 되고 G'(x)는 1/x가 되므로

∫ ln x dx = x*ln x - ∫ x/x dx = x*ln x - x = x(ln x - 1)

이렇게 답이 구해진다. x*(ln x)' 가 x/x로 바뀌어서 1로 상쇄되는 것이 백미이다.;;

그럼 ln x의 0..1 정적분의 값은 얼마일까? 다시 말해 위의 그래프에서 선이 y축의 0 아래로 뚝 떨어지는 구간의 면적은 얼마일까?
저 역도함수에다가 0과 1을 대입해서 차를 구하면 -1임을 알 수 있다. 그러나 더 직관적으로 아는 방법도 있다.
저 구간은 ln x의 역함수인 exp(x)에서 x의 음수 구간 면적과 동일하기 때문이다.

그러니 exp(x)를 0부터 -∞까지 적분해 봐도 동일한 값을 더 쉽게 구할 수 있다. exp는 그냥 자기 함수에다 값을 대입하는 것만으로 적분값을 구할 수 있으니 말이다.

그리고 더 흥미로운 사실이 있다.
ln x의 부정적분인 x(ln x - 1)의 의미는 바로..
저 X축의 x, 그리고 Y축의 ln x라는 직사각형에서.. 맞은편의 역함수 exp(ln x) 구간의 면적을 뺀 나머지 면적이라는 것이다. -x의 의미는 바로 -exp(ln x)라는 것..!!

부분적분에서 곱을 구성하는 두 함수 중의 하나가 그냥 x 자체인 덕분에, 기하학적으로 이런 의미까지 지니게 된 셈이다.
앞서 부분적분 식에서는 x가 x*(1/x)를 적분해서 얻어졌었는데.. 여기서는 exp와 ln이 상쇄되어 얻어졌다는 게 흥미롭다.

이런 부분적분은 삼각함수 등 다른 초월함수들의 '역함수'의 부정적분을 구할 때도 요긴하게 쓰인다.
부분적분의 특성상 원함수의 도함수도 알아야 하는데, 그건 역함수의 미분법을 동원해서 구하면 된다.

다음으로, ln x를 넘어서 (ln x)^2의 정적분을 구하려면?
부분적분 패턴에서 F'(x)와 G(x)를 모두 ln x로 잡으면 된다. 그러면 F(x)는 x*(ln x -1)에 대응하고, 최종적으로는 아래와 같은 복잡한 식이 도출된다.

이를 일반화해서 (ln x)^n의 부정적분은

x*(ln x)^n - a*x*(ln x)^(n-1) + b*x*(ln x)^(n-2) ... +- z*x*(ln x) +- z*x + C (적분상수)

이런 꼴이 된다. 모든 항에 x는 기본으로 붙어 있고 그 다음에 (ln x)의 n승에 대한 항이 형성되어 항의 수는 총 n+1개..
부호는 -와 +가 번갈아가며 바뀐다.
맨 앞의 제일 고차항인 (ln x)^n의 계수는 언제나 1이지만, 그 다음 항인 a...z로 갈수록 n과 n-1, n-2... 가 차례로 곱해져서 n=2일 때는 2 2.. n=3일 때는 3 6 6, n=4일 때는 4 12 24 24... 이렇게 계수가 정해진다.

그러므로 0에서 1까지의 정적분 값은 n의 홀짝 여부에 따라 부호가 교대로 바뀌는(홀-음수, 짝-양수) n!이 된다.
원함수에다가 미리 -를 씌운 (-ln x)^n라고 해 주면 0..1 정적분은 간단하게 n!로 떨어진다. n이 홀수승일 때는 (ln x)^3의 값이 음수이던 것이 - 부호를 만나서 양수로 바뀌고, 짝수승일 때는 거듭제곱이 음수를 양수로 바꾸기 때문에 팩토리얼이 언제나 양수로 나오는 것이 보장된다.

로그의 거듭제곱의 적분이 팩토리얼과 관련이 있다니.. 신기한 노릇이다. 이 덕분에 지수뿐만 아니라 팩토리얼조차도 정의역이 단순히 자연수에 국한되지 않고, 지수함수와 적분와 동급인 실수 영역에 연속적인 형태로 정의될 수 있게 됐다.

(-ln x)^n의 0..1 정적분은 치환적분 기법을 동원해서 다음과 같은 형태로 바꿀 수 있다.

뭐.. 로그를 쓰면 구간이 0~1인데, 지수를 쓰면 구간이 0~무한대로 바뀐다는 차이가 있다. ㄲㄲㄲ
요 함수가 일명 '감마'(Γ) 함수라고 불린다. 단, 감마 함수는 모종의 이유로 인해 팩토리얼과 완전히 같지는 않아서 Γ(n+1)의 값이 n!에 대응한다.

x^x은 0일 때와 1일 때의 함수값이 동일하고, 그 사이엔 함수값이 살짝 작아졌다가 1 이후부터 폭발적으로 커진다.
감마 함수도 양의 실수 구간에서는 이와 비슷한 성질이 있어서 1과 2일 때의 함수값이 동일하다. 그 사이에는 함수값이 약간 작아졌다가 2 이후부터 폭발적으로 커진다.

단, x^x는 미분을 통해 그 최소값을 해석적으로 정확히 구할 수 있는 반면, 감마 함수는 대략 x≒1.46163에서의 최소값 0.88560...을 수치해석으로 구할 뿐이다. 이 수의 정확한 특성은 알려져 있지 않은 것 같다.
그런데.. 감마 함수는 소수점이 .5 인 수.. 다시 말해 자연수에다가 1/2이 첨가된 수에 대해서는 π(원주율)의 제곱근의 배수인 그 무언가를 되돌린다. 이런 것도 여느 지수함수나 그쪽 바리에이션에서는 발견할 수 없는 면모이다.

특히 Γ(1/2)의 값은 딱 정확하게 sqrt(pi)인데, 이것은 정규분포 함수의 원형인 e^(-x^2)의 전구간 적분 면적과 동일한 값이다.
1/2일 때 감마 함수 적분식은 적분변수 x를 sqrt(t)로 치환하면 딱 정확하게 e^(-x^2)의 전구간 적분과 동일한 식이 나오기 때문이다. ㅎㄷㄷㄷ..

물론 e^(-x^2)은 부정적분이 초등함수의 형태로 표현되지 않는 괴상한 물건이며, 가우스 적분이라는 완전히 새로운 방법론을 동원해야 전체 면적만을 구할 수 있다. 이 과정이 뱅그르르 회전과 관계가 있기 때문에 갑자기 원주율이 튀어나오는 것이다. 하지만 이건 이 글의 범위를 한참 넘어서기 때문에 더 자세한 얘기를 생략하겠다.

다시 본론으로 돌아오면.. 로그의 n승을 정적분 했더니 n팩토리얼이 튀어나왔다. 반대로 팩토리얼 값에 로그를 씌운 것도 로그와 관련이 있다. log N!은 수가 증가하는 정도가 N log N과 얼추 비슷하다.
왜 그런가 하면 N!은 1*2*3...*N이니 log N!은 log 1+log 2+log 3+ ...log N과 같기 때문이다. 그리고 이건 log N에 대한 적분에다 근사시킬 수 있으며, 그 부정적분에는 N log N이 포함되어 있다.

컴퓨터 알고리즘 중에서 정렬이라는 건 n개의 원소들을 나열하는 순열 최대 n!개의 가짓수 중에서 오름차순/내림차순 순서를 만족하는 것을 찾아내는 과정이다. 그런데 비교 연산을 한 번 할 때마다 그 가짓수를 이분 검색 하듯이 최대 절반으로 줄일 수 있다.

그러니 가짓수도 팩토리얼로 폭발적이고, 매 단계마다 가짓수를 줄이는 규모도 지수로 폭발적인데.. 결국 비교 연산을 수행하는 정렬 알고리즘의 이론적인 시간 복잡도는 팩토리얼의 로그급인 n log n으로 귀착되는 것이다.

팩토리얼 내지 팩토리얼의 로그를 근사하는 공식을 더 엄밀하게 파고들면 n log n에다가 다른 자잘한 항들도 여럿 붙는다. 이런 건 감마 함수를 변형해서 만들어지는데, '스털링의 근사 공식'이라고 한다.
애초에 x^n * e^(-x)도 e^(n ln x - x)로 바뀌니, n log n이라는 결론이 달라지지는 않는다.

이상이다. 로그에 이렇게 심오한 의미가 많이 담겨 있는 줄 몰랐다.;; 얘기가 꼬리에 꼬리를 물고 이어지는데, 로그의 밑 얘기만 하고 글을 맺도록 하겠다.

이공계에서 쓰이는 로그의 밑은 사실상 딱 세 종류.. 2, e, 아니면 10이라고 보면 되겠다.
2는 컴퓨터과학 전산학에서 특별히 아주 좋아하는 숫자이고, e는 지금까지 봐 왔듯이 천상 수학 미적분 해석학 전용이다. 10은 10진법과 관계가 있다 보니 데시벨이나 pH (산/염기 지수) 같은 로그 기반의 현실 과학 단위에서 쓰인다. 단, 복소해석학으로 가서 로그를 복소수 범위로 확장하면.. 0과 1만 빼고 -1이나 i조차 로그의 밑이 될 수 있으니 참 ㅎㄷㄷ하다.

현실에서 엄청 큰 측정값을 표기할 일이 있으면, 어지간해서는 메가· 기가· 테라· 페타 같은 접두사를 동원해서 자릿수를 줄이는 걸로 퉁칠 것이다. 아예 로그를 동원해서 자릿수를 후려친다는 건 정말 그 분야에서 얻을 수 있는 측정값의 스케일이 0의 개수 자릿수 차원에서 극단적으로 널뛰기 한다는 걸 뜻한다.

원래는 log 다음에 아래첨자로 밑을 일일이 써 주는 게 정석이다. 그러나 쓰이는 밑이 분야별로 저렇게 뻔히 답정너이니.. 그런 번거로운 표기는 잘 쓰이지 않는다. 밑이 e인 로그는 자연로그라고 해서 그냥 ln이라고 쓰는 정도?
밑을 생략한 log 표기는 밑이 무엇이건 중요하지 않고, 수가 증가하는 게 log 스케일이라는 것만이 중요할 때 쓰인다. 앞서 언급했던 시간 복잡도 표기처럼 말이다.

Posted by 사무엘