간단한 고전역학 이야기

1. 공간, 물질, 시간 단위
 
과학, 특히 물리학에서 공간(길이 m)과 물질(질량 kg)과 시간(초 s)은 그야말로 기본 중의 기본 필수 개념이다.
그리고 물리학에서 쓰이는 단위는 자연으로부터 얻어진 연속적인 물리량을 인간이 비교하고 계산할 수 있는 수치로 양자화(quantify)하는 매개이다.
 
가장 먼저 1초는 세슘-133 원자에서 방출된 특정 파장의 빛이 91억 9263만 1770번 진동하는 데 걸리는 시간이라고 정의되어 있다. 32비트 범위도 벗어나는 저 엄청난 횟수를 기술적으로 측정 가능한지가 신기할 따름이다.
그리고 1m는 빛이 진공에서 2억 9979만 2458분의 1초 동안 진행하는 거리라고 정의되었다. 즉, 길이의 단위는 시간의 정의에 의존적이다.
 
문제가 되는 건 잘 알다시피 질량의 단위이다. 얘만 혼자 kilo라는 접두사가 붙은 것부터가 특이한데, 그뿐만이 아니라 질량의 정의만 좀 엄밀하지 못하다. 어디서나 동일하게 측정과 재연이 가능한 자연 현상이 아니라, 인간이 만든 킬로그램 원기에 의존하는 정의가 100년이 넘게 쓰여 왔다. 언제 변질되거나 훼손될지 모르는 인간의 조형물의 질량이 곧 1kg이라니, 이건 무슨 “짐이 곧 법이다”, “나를 두고 맹세한다” 급의 독재 왕정 사고방식도 아니고 굉장히 비과학적인 정의가 아닐 수 없었다.
 
나름 최대한 안정적이고 변화가 없는 원소로 킬로그램 원기를 최첨단 기술을 동원해 만들었다지만, 킬로그램 원기의 질량은 시간이 흐르면서 밀리그램 단위로나마 변하기 시작했고, 복사본들끼리도 질량이 차이가 벌어지기 시작했다.
 
이런 문제로 인해 21세기가 되어서야 킬로그램 원기는 드디어 퇴출이 확정되었으며, 그 대신 무엇을 킬로그램의 대안으로 삼을지는 2014년에 도량형 총회를 통해 결정될 예정이라 한다. 이것은 지난 2006년에 명왕성이 행성에서 제외된 것에 맞먹는 과학계의 큰 사건이 될 것이고 대중적으로 끼치는 여파도 클 것 같다. 특정 조건에서 무슨 원자 n개의 원자량을 질량의 절대 기준으로 정의하는 게 가장 정확할 것 같지만, 정확한 측정 방법이 여의치 않아서 지금까지 그게 쓰이지 못했지 싶다.
 
질량은 만유인력을 일으키는 굉장히 오묘하고 추상적인 물리량이다. 우리가 일상생활에서 질량의 존재를 중력이라는 힘을 통해 느끼곤 하지만, 질량과 무게는 위상이 원래 서로 다른 개념이다. 무게는 물체의 질량뿐만이 아니라 천체의 질량까지 가미되어 나타나는 힘이기 때문에 지구에서의 값이 다르고 달에서의 값이 다르다. 그러나 지구에서나 달에서나 동일한 질량은 디지털 저울이 아니라 얄짤없이 양팔 저울로 추를 달아서 측정하는 것이다.
 
2. 힘, 일, 에너지
 
물리학에서 힘이라는 개념은 질량을 가진 물체의 속도를 바꾸는 존재이다. 힘을 받지 않은 물체는 계속 정지해 있거나, 이미 가지고 있는 속도를 등속으로 유지하면서 끝없이 움직이게 된다. 그 이유는 두 말할 나위도 없이 관성 때문이다.

질량이 1kg인 물체의 속도를 1초에 초속 1m(시속 3.6km)꼴로 변화시키는(가속이든 감속이든 방향은 중요하지 않음) 양의 힘을 1뉴턴(1N)이라고 부른다. 중학교 과학 시간에서부터 배웠던 f=ma 기억하시는가?
다시 말해 힘의 단위는 가속도에다가 질량을 곱한 단위이며, 1N = 1kg·m/s^2 가 된다. 그리고 1kg라는 질량은 지구 표면에서 지구의 중력 가속도를 받아서 약 9.8뉴턴의 중력을 갖는다.
 
참고로 질량을 배제하고 가속도만을 기술하는 단위(m/s^2)도 있다. 지구의 중력 가속도인 9.8m/s^2를 나타내는 1G라는 단위가 있는데, 이것은 어떤 기계 제품이 고장 나지 않고 견딜 수 있는 외부 진동의 한계치를 나타낼 때 쓰이고, 전투기 조종사나 우주 비행사가 비행체 안에서 짓눌리는 정도를 나타낼 때도 쓰인다.
 
다시 힘으로 돌아오면, N은 힘이 작용되는 어느 한 순간· 찰나· 단면만을 나타낸다. 이 힘이 지속적으로 축적되어서(수학적으로는 적분) 물체를 이동시키면 물리학적으로 일을 한 것으로 간주된다.

1N에 해당하는 질량과 가속도를 받은 물체가 그 질량과 가속도를 균일하게 축적하면서 1m 이동이라는 일을 할 때까지 필요한 힘의 양을 1J(줄)이라고 한다. 이 정의대로라면 물체는 1m를 이동할 때까지 속도가 균일하게 증가하게 될 것이다. 마치 추락하는 물체처럼 말이다.
 
1J는 1N에다가 거리가 추가로 곱해져서 1kg· m^2/s^2가 된다. 거리의 제곱에 비례하기 때문에 10미터에서 떨어지는 물체에 맞는 것보다 20미터에서 떨어지는 물체에 맞는 게 2배가 아닌 4배 더 위험한 것이다.
 
그리고 힘과 일에 이어, 에너지라는 개념이 있다. 에너지란, 질량을 가진 물체가 잠재적으로 일을 할 수 있는 능력을 말한다. 비록 지금 당장은 힘을 받고 있지 않아서 그냥 등속 운동을 한다 하더라도, 더 무겁고 더 빠르게 움직이는 물체는 이미 받아 놓은 에너지가 많기 때문에, 자신과 부딪치는 다른 물체를 더 멀리 옮기거나 더 크게 파괴할 수 있다.
 
이런 운동 에너지는 질량과 속도의 곱(mv)에서 속도를 적분함으로써 구할 수 있다. 힘 자체가 질량과 가속도의 곱으로 정의되었고, 가속도는 물체의 질량을 바꾸는 게 아니라 말 그대로 속도를 바꾸기 때문에 속도가 적분 변수가 된다. 물체의 운동 속도와 질량이 서로 간섭을 하는 건 광속에 근접한 상황에서 상대성 이론에 근거해서나 가능한 소리이기 때문에 뉴턴 고전 역학과는 문맥이 다르다. 현실에서 가속이 더 어려워지는 건 공기 저항이나 마찰, 또는 동력 기관의 기계/화학적 한계 때문이다.
 
뭐 어쨌든, 적분으로부터 얻은 운동 에너지 공식은 그 이름도 유명한 1/2 mv^2이다. 그런데 속도라는 게 단위 시간 당 거리인데 에너지의 단위의 차원을 생각해 보면 kg· (m/s)^2이므로 kg· m^2/s^2와 동일하다. 그래서 힘을 적분하든 속도를 적분하든 일과 에너지란 서로 동등한 개념임이 성립된다. (m의 의미가 mass라는 변수명일 때와 meter라는 단위명일 때를 분간 잘 하도록 하시고..)
 
운동 에너지에서 제곱의 의미는 운전을 해 보면 알 수 있다. 바로 자동차의 제동 거리가 속도의 제곱에 비례하기 때문이다. 자동차의 주행 속도가 두 배로 늘면, 그 자동차가 가진 운동 에너지 내지 자동차가 물리적으로 할 수 있는 일은 네 배로 뻥튀기된다. 따라서 자동차가 하는 일이 보행자를 친다거나 앞 차를 들이받는 불행으로 이어지지 않게 운전자는 각별히 조심해야 한다. -_-;;
 
일과 에너지의 단위인 J는 약방의 감초 같은 매우 유용한 단위이므로 물리를 잘하려면 단위의 차원의 의미를 제대로 숙지하는 게 필수이다. 열역학에서는 온도를 높이는 데 필요한 에너지라는 개념으로 칼로리라는 단위도 J과 연계되어 쓰인다.
 
3. 일률

J에는 시간이 크게 감안되어 있지 않다. 이런 질량을 가진 물체가 이 정도 힘을 받아서 이 정도 이동을 했을 정도이면, 소요 시간은 그런 변수로부터 자동으로 결정되는 상황이기 때문이다. J는 시간이 아닌 이동 거리 관점이다.
그러나 실생활에서는 일을 하는데 시간이 얼마나 걸렸는지도 따져야 할 때가 있기 때문에 1초 동안 1J만치 일을 한 것을 1W(와트)라고 표현한다. 곧 1W = 1J/s. 와트는 일률의 단위이며, 전력의 단위이기도 하다.
 
일률이란 도대체 무슨 개념인 걸까?
지구에서의 중력이 1N짜리인 물체(즉, 100g을 약간 넘는 가벼운 질량)가 공기 저항을 무시하고 지표면의 4.9m 높이, 즉 건물의 3층쯤 되는 곳에서 자유 낙하를 하면 1초 만에 바닥에 닿는다. 떨어지는 순간에 물체의 속도는 초속 9.8m가 될 것이고, 이 물체가 중력으로 말미암아 떨어지면서 쭈욱 한 일은 1N에다가 이동 거리 4.9를 곱한 4.9J이 된다. 일률은 그대로 4.9W가 되겠다.
 
일을 구하는 1N * 4.9m뿐만이 아니라, 운동 에너지를 구하는 방식으로 1/2 mv^2에다가 1/9.8 kg과 9.8m/s를 집어넣어 봐도 동일하게 4.9J가 산출된다. 일과 에너지는 동일한 개념임을 여기서도 다시 확인할 수 있다. 100그램은 200ml짜리 우유팩 하나보다도 가벼운 무게이긴 하다만, 딱딱한 재질의 이런 작은 물체가 3층 높이에서 떨어진 걸 지나가는 사람이 맞았다고 생각하면 그 일의 위력을 얼추 짐작할 수 있을 것이다.
 
같은 물체가 네 배 높이인 19.6m에서 자유 낙하를 하면 2초 만에 바닥에 닿으며, 19.6J과 9.8W의 일률이 산출된다. 일률이라는 건 시간이 개입되다 보니, 동일한 일을 해도 속도가 빠를 때 더 커지며, 힘에 의한 가속을 오래 받을수록 더 올라감을 알 수 있다. 자동차의 최대 출력 잣대로 쓰이는 마력이 바로 일률의 단위이다. 통상적인 휘발유 엔진 소· 중형 승용차의 경우 엔진 회전수가 5~6000rpm대일 때 통상 150~200마력대의 최대 출력이 나오며, 단위 시간당 출력이 높아야 차의 최대 속력도 더 높게 나올 수 있다.
 
일률 단위는 전기 에너지와 연계되어서도 더 많이 쓰인다. 1암페어(A)에 해당하는 전류가 1볼트(V)의 전위차에서 흐를 때 단위 시간당 할 수 있는 일률이 1W이기도 한데, 1V라는 전압이 바로 1W에 의존적으로 정의되어 있다.
전기는 실시간으로 생산되어서 곧바로 소비되어야 하는 에너지이다 보니, 단위 시간당 전기 생산 규모와 예비 전력량을 나타내는 단위로 일률인 W가 쓰인다.

와트에다가 도로 1시간이라는 시간을 곱해 주면 와트시(Wh)라는 단위가 된다. 1W의 일률로 1시간 동안 하는 일의 양으로, 결국 비례상수만 다를 뿐 J와 같은 차원의 에너지 단위이다. 와트시는 전기 요금의 책정 단위이기도 하다.
 
지금까지 소개한 물리 개념들을 한데 요약하면 다음과 같다.
  • 초(s): 시간의 단위로, 현재는 특정 원자가 특정 횟수만치 진동하는 데 걸리는 시간을 기준으로 정의됨
  • 미터(m): 길이의 단위로, 빛이 진공에서 어느 시간 만치 진행한 거리로 정의됨
  • 질량(kg): 물질의 고유 단위로, 두 질량과 질량 사이에는 만유인력이라는 서로 당기는 힘이 작용하여 이것이 곧 중력이 됨
  • 속도(m/s)와 가속도(G; m/s^2): 각각 단위 시간 동안 이동한 거리, 그리고 단위 시간 동안 속도의 변화량을 의미한다.
  • 힘(F; kg·m/s^2): 물리학에서 힘이란 질량을 가진 물체의 속도를 순간적으로 변화시키는 정도이다.
  • 일 또는 에너지(J; F·m): 힘이 계속 작용하는 동안 해당 물체가 일정 거리를 이동하는 것이 바로 ‘일’이 된다. 운동하고 있는 물체가 가지고 있는 에너지도 일과 등가인 개념이다. 칼로리와 와트시도 이와 동급의 단위이고, 전기 요금의 책정 단위인 전력량 역시 이것이다.
  • 일률(W; J/s): 단위 시간 동안 일을 하는 양이다. 마력도 이와 동급이고, 전력의 단위도 이와 동급이다.
다음번엔 자동차의 성능을 측정하는 도구로서의 물리 얘기를 계속하도록 하겠다.

Posted by 사무엘

2012/07/05 08:40 2012/07/05 08:40
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  1. 주의사신 2012/07/05 09:04 # M/D Reply Permalink

    1. nullpointr.com의 도전이 실패로 끝나고 뭘 할까 고민을 하다가, "파란 고슴도치 게임"을 만들어 봐야지 생각을 하고 있습니다. 아무래도 모델링보다는 물리가 더 중요한 것이 그 게임이라....

    그래서 요즘 고전 역학 관련 물리를 다시 한 번 보고 있답니다.

    어릴 때에 별 생각 없이 했던 것에 그렇게 많은 원리가 숨어 있음을 보고 많이 놀라고 있습니다.


    2. "화난 새 게임"을 어떻게 만들까 고민을 해 본 적이 있습니다. 보통 물리 실력으로는 못 만들겠다 싶은 것이 그 게임이더군요...


    3. 고등학교 때 가끔 과학 관련 질문을 받는 경우가 있었습니다. 한 번은 영어 선생님께서 마력이 무엇이냐고 저에게 물으셨습니다. 그래서 제가 말 한 마리가 끄는 힘이라고 말씀 드렸습니다.

    그 다음 질문이 "혹시 우리나라에서만 쓰는 표현 아니니? 영어로도 같은 표현이 있니?"라는 질문을 하셨습니다. "Horse power요"라고 답변을 드렸습니다. 뭔가 대단한 영어 단어일 것으로 생각하셨는데, 단순한 단어 두 개가 합쳐져 있으니 매우 황당하게 느껴 하시던 것이 아직도 기억이 나네요.


    4. 곧 특백이 등장하겠군요.

    1. 사무엘 2012/07/05 09:18 # M/D Permalink

      1. 일반 소프트웨어도 그렇겠지만 특히 태생적으로 타인과의 연계를 목적으로 만들어지는 웹사이트는 충분히 유명해질 때까지 굉장히 긴 안목을 염두에 두고 만들어야 합니다. 마치 눈덩이를 처음 굴릴 때처럼... 그러니 벌써 실패를 논할 때는 아니라고 생각됩니다.

      제 홈페이지도 초기에 길고 긴 얼어붙은 무명(?) 시절이 있었던 데다, 지금까지 이렇게도 월등한 양의 컨텐츠를 공급해 오고도 그냥 그저 먹고 살 수준의 인지도이지 그다지 유명하지는 않죠. ^^:;
      게다가 영어가 아닌 언어로는 유명해지는 데 굉장히 큰 한계가 있기도 하고 말입니다.

      2. 제가 이 글을 쓰면서 느낀 건, 물리라는 건 학창 시절에 막연히 생각했던 것보다 굉장히 많은 사고방식의 고도의 추상화와 계층화를 통해 이룩되었다는 것입니다. 이걸 처음에 생각해 낸 사람들이 얼마나 대단한지도 다시 생각하고 있죠. 고등학교 수학의 최종 목적지가 괜히 미적분인 게 아닙니다.

      간단한 당구 게임 정도야 고등학교 물리 책 참고해서 만들면 되겠지만, '화난 새'라든가 '크레용 물리' 같은 걸 만들려면 전문적인 2D 물리 엔진을 라이센스해서 써야 할 겁니다.

      3. 영어 선생님이 horse power를 물으신다니 좀 뜻밖이네요. 이 단위의 정의 자체도 영국식과 미국식 사이에 살짝 차이가 있습니다.

      4. 그 친구는 안 그래도 입시 준비 모드이니 이런 글 보면 눈이 번쩍 뜨일 겁니다. ^^

  2. Paul Sohn 2012/07/07 04:23 # M/D Reply Permalink

    1. 현대적인 단위 기준은 사실상 '고전적인 단위를 설정한 다음에 세슘133의 연속한 두 에너지준위간 차의 진동 주기나 광속 같은 걸 구하고, 고전적인 단위 설정이 뭔가 애매하고 재기 힘드니까 이미 재 놨던 기준을 이용해서 단위를 재설정하자' 이런 취지입니다.
    가령 g의 고전적인 정의로는 액체 상태 H2O의 부피가 최소가 되는 온도 4도씨에서 1cm입방체 물의 질량을 잰 거라고 합니다. 뭐 그 외에도 m는 지구 자오선의 4백만분의 1km로 놓는다던지, s는 평균 태양의 남중-남중 시간차를 24로 나누고 그걸 다시 3600으로 나누고 해서 만들어진 것이지요.

    언젠가는 지금 쓰는 단위를 일관적이고 합리적인 단위로 바꿀 수 있는 방법을 연구하고 싶습니다만, 엄두가 안 나네요.

    2. 지금 글에는 기본 단위가 meter_kilogram_second 단위로 쓰여져 있는데, 화학에서는 이런 것보다는 centimiter_gram_second를 즐겨 씁니다. 작은 단위를 측정하는 데 편리하고 애초에 mol단위가 그렇게 만들어진 것이니까요.
    이외에도 열량 단위가 두 학과별로 J과 cal, 압력의 단위가 Pa와 atm, 열역학 제1법칙이 외부에 해 준 일과 외부에서 받은 일과 같이 미묘하게 다른 것도 대비해보면 재밌습니다. :-)

    3. 성난 새 게임의 경우, 다른 것보다는 건축물이나 돼지들이 데미지라는 것을 받아서 그것이 일정 이상 축적되면 사라지기도 하는데, 그 데미지라는 것을 어떻게 측정하는지 궁금하기도 합니다. 가령 제가 생각한 것은 던지는 새나 데미지를 받는 건축물에 따라 결정되는 상수에다 충격량을 곱한 방식인데, 충격량으로 결정되는 건지 새가 보통 때보다 추가로 손실한 에너지를 곱해서 결정나는 건지는 잘 모르겠습니다.
    들리는 소문에 따르면 성난 새의 제작진이 완전히 새로운 물리 게임을 만든다고 합니다.

    4. 그러고 보니, 뉴턴역학 제3법칙과 그로 인해 만들어지는 운동량 보존의 법칙이 언급이 되어 있지 않군요. 거의 쓸 일은 없는 단원이긴 하지만. 단위 위주의 글이어서 그런가요?

    5. 현대물리는 이 글의 의도와 벗어나니 패스, 필명을 바꾼 건 뭐 의미는 없어요.

    1. 사무엘 2012/07/07 18:10 # M/D Permalink

      1. 네, 그러게요. 질량의 정의에 섭씨 4도에서 물 1000㎤의 질량 같은 정의는 왜 안 쓰는지 궁금한 적이 있었습니다. 온도라든가 물의 성분에 대해서 엄밀하게 정의하는 게 쉽지 않아서 그런 것 같습니다.

      2. 화학이야 그 분야 사정이고 물리에서는 단연 mks 단위..

      3. 라이센스한 기존 2D 물리 엔진이 있긴 하지만 자체적으로 굉장히 많이 고치기도 했다는 건 사실이라고 합니다. 마개조..??

      4. 단위 위주이기도 하고, 이 글은 자동차에 대한 글을 준비하다가 덩달아 쓰게 된 글이기 때문입니다.
      제트 엔진과는 달리 일반적인 내연 기관 자동차는 작용-반작용 원리로 바퀴를 굴리는 게 아니지요. 오히려 마찰, 회전력 쪽의 설명 보충이 더 필요할 겁니다.

  3. LynTohno 2012/07/15 22:29 # M/D Reply Permalink

    순수한 물을 유지하는 문제때문이 아닐까요 =_=ㅋ

    1. 사무엘 2012/07/15 23:11 # M/D Permalink

      아마 그런 것도 크게 작용했을 거예요. ^^

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