김 용묵의 절대공간 - 블로그

두 초점 A, B가 있을 때 A에서의 거리와 B에서의 거리의 차가 동일한 점들의 집합을 쌍곡선이라고 한다. x^2 - y^2 = a 이런 음함수로 정의되며, 그래프를 그려 보면 곡선이 둘 그어지는 것이 특징이다.
그 반면, 합이 동일한 점들의 집합은 잘 알다시피 타원이며, x^2 + y^2 = a 꼴로 정의된다.

그런데 y=a/x, 다시 말해 xy = a 꼴인 반비례 함수는 x^2나 y^2처럼 단일 변수의 제곱이 존재하지 않는다. 하지만 우리는 이게 이차곡선인 쌍곡선의 표준형을 45도 돌린 형태라고 얼추 알고 있다.
어째서 그런 것일까? 수학적으로 더 엄밀히 증명해 볼 수는 없을까?
반비례 함수를 회전 행렬을 이용해서 45도 돌린 뒤, 이 함수가 쌍곡선 표준형과 동치임을 보이면 될 것이다.

45도일 때는 cos와 sin의 값이 sqrt(2)/2로 동일하다. 그렇기 때문에 (x, y)라는 점은 45도 회전하고 나면

요렇게 된다. 그럼 다음으로 45도 돌아간 x', y'를 기반으로 우리의 목표인 쌍곡선 방정식을 재구성하면 된다.
그러면 기존의 x, y 변수를 없애야 하는데, 위의 식을 그대로 제곱해서 빼기만 해도 x'^2 - y'^2 = -2xy로 놀랍게도 x^2와 y^2이 소거되어 없어진다. 이는 앞서 살펴보았듯이 각도가 45도여서 cos와 sin의 함수값이 서로 동일한 덕분에 가능한 일이다.

마지막으로 남은 xy야 원래 반비례 그래프의 정의상 a로 치환하면 되니 금방 처리된다.
그러면 x'^2 - y'^2 = -2a가 되고 쌍곡선과 동일함이 입증된다. 뭔가 허무해 보이지만.. 이차곡선 중에서 x나 y의 제곱이 없는 식은 이렇게 쌍곡선으로 귀결된다.
45도가 아닌 다른 각도라면 기존 x, y가 이렇게 쉽게 소거되지 않기 때문에 문제가 이런 식으로 단순하게 풀리지 않게 된다.

가만히 생각해 보니, 애초에 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx+Ey+F = 0에 대해서 그래프의 모양을 결정하는 판별식도 있다. A,B,C 중 적어도 하나 이상은 0이 아닐 때, B^2 - 4AC가 0이면 이 그래프는 포물선이요, 음수이면 타원 또는 원, 양수이면 쌍곡선이 된다. 구체적인 유도 과정은 쉽지 않을 텐데.. 이거 정도면 중등 교육과정 범위에 있다.
그러니 xy=1이야 B만 비영이고 A, C는 0.. 판별식 값은 당연히 양수가 되고 쌍곡선으로 귀결된다. 오오~~

판별식의 형태가 1계수 이차방정식의 근 판별식과도 매우 유사하다. 이차방정식의 경우 A만 비영이라는 조건이지만, 이차곡선 내지 원뿔곡선 방정식의 판별식은 아까 상술하였듯이 A,B,C 중 아무거나 하나 이상만 비영이면 된다.

그리고 A부터 F까지 아무 숫자나 집어넣는다고 해서 원뿔곡선이 튀어나오는 게 아니다. 상수항이 0이거나 하면 원이 극도로 작아져서 그냥 점이 되기도 하며, 쌍곡선은 점근선을 나타내는 직선 두 개로 귀착된다. 당장 xy=0만 해도 x축과 y축을 동시에 나타나내는 직선이 되니까.. 그럼 다음으로 포물선은..? 평행한 두 직선이 돼 버린다.
이차방정식이 x^2+1 = 0 같은 경우 실수 근이 존재하지 않는 것처럼.. 이것의 이변수 상위 호환인 원뿔곡선 방정식도 실수 범위에서 공집합이 될 수도 있다.

이 개념을 degeneracy(축퇴.. 축 쪽으로 퇴화)라고 부른다. 뭔가 행렬에서 행렬식의 값이 0이 돼 버리는 상황 같은 느낌이 들지 않는가? 계수가 주어졌을 때 축퇴 여부를 판별하는 판별식도 있다. 이건

(b^2-4ac)f + ae^2 - bde + cd^2

으로, 곡선 종류 판별식을 포함하면서 다소 복잡한 편이다. 이걸 유도하는 건 확실하게 중등 이상의 더 어려운 영역이며, 더 추상적인 수학 개념이 동원된다. 딱 봤을 때 각 항들에 변수가 2개가 아니라 3개씩 곱해진 것부터가 매우 인상적이다.

쌍곡선에서 시작해서 이차곡선에 대한 더 원론적인 얘기로 주제가 옆길로 좀 샜는데.. 다시 쌍곡선 얘기를 하며 글을 맺겠다.
반비례 그래프는 xy=a, 즉 x의 역수를 구하는 함수인지라 y=-x의 그래프에 대칭인 쌍곡선이 튀어나온다. e^x가 도함수가 자신과 동일한 함수라면, a/x는 역함수가 자신과 동일한 함수이다. f(f(x)) = x가 성립하는 게 어찌 보면 not이나 xor 연산 같아 보이기도 하다..

원의 방정식이 그 정의상 (cos(t), sin(t))라는 매개변수로 표현될 수 있는 것처럼 쌍곡선의 방정식은 (cosh(t), sinh(t))라는 매개변수로 표현될 수 있다. cosh와 sinh의 배치가 바뀌면 쌍곡선의 위치가 상하 또는 좌우로 바뀐다.

그리고 원의 방정식이 y=sqrt(a-x^2) 같은 꼴로 양함수로 표현될 수 있는 것처럼 쌍곡선의 방정식은 y=sqrt(x^2+a)의 꼴로 표현될 수 있다. a의 부호가 무엇이냐에 따라 쌍곡선의 배치(상하 또는 좌우)가 바뀐다. 한편으로 저 모양만 봐도 x의 값이 너무 작거나 커지면 y=x에 가까워질 소지가 다분해 보임을 알 수 있다.

Posted by 사무엘

1. 신호등이 있는 일반 도로

• 애매한 비보호 좌회전 대신 감흥식 좌회전을, 애매한 황색 점멸 횡단보도 대신 보행자 작동 신호등을 더 늘림
• 교차로의 노란불 딜레마를 해소하기 위해, 교차로 통과 결심 지점을 자그맣게 어떤 형태로든 표시한다. 즉, 부드러운 정지 제동이 가능한 특정 지점을 시속 60으로 이미 지났다면, 이제 신호등이 갑자기 노란불이 되더라도 그 속도 이상을 유지하면서 교차로도 통과하라는 뜻이다.
  비행기 이륙 결심 속도와 비슷한 개념이다. 이건 진출 방향별 분홍-초록 컬러 차선 같은 발명품이 되지 않을지 개인적으로 기대한다.. -_-;;
• 교차로에서 ↑→가 같이 있는 곳, →만 있는 곳, 그리고 →와 ↑(X)가 있는 지점들의 의미를 명확히 해서 이로 인한 분쟁이 발생하지 않게 해야 한다. 우회전 하려는 뒷차를 비켜 줘야 하는 때가 언제인지를 말이다.
• 커브나 오르막 바로 다음에 횡단보도나 교차로가 나오는 정도의 상황이 아니라면, 구간 단속이나 극단적인 속도 제한을 폐지한다. 그리고 이런 단속도 진짜로 곧 빨간불로 바뀌기 직전에만 스마트하게 시행함.
• 어린이 보호 구역에서의 특별 감속은 평일에 애들이 실제로 등하교 하는 날짜와 시간대에만 시행한다. 그리고 속도 제한은 완화하고, 여기 주변에서의 불법 주정차를 더 강하게 단속하고 가중 처벌한다.
• 자동차 신호등에도 파란불이나 빨간불에 남은 시간을 어떤 형태로든 표시하게 한다.

과속 하던 차가 불법 유턴 내지 비보호 좌회전 하는 차와 쾅 부딪혔을 때 과실 비율이 어찌 되느냐 하는 건 블랙박스 영상들 좀 본 사람한테는 정말 뻔한 클리셰일 것이다. 오목을 3과 4를 동시에 놔서 이기는 것만큼이나 흔한.. 전형적인 사고 패턴이라 하겠다.

2. 고속도로

• 전국의 고속도로 최대 속도 제한을 150~180 정도로 상향, 현실화. 비현실적인 캥거루 감속이라는 게 없게 한다.
• 그 대신 구간 과속 단속을 구현할 정도의 기술력으로, 지정차로 단속을 더 강하게 시행한다. 저속으로 1차로 지속 주행 차량한테 상품권. 칼치기뿐만 아니라 우측추월 칼치기를 강요하는 차량한테도 분명하게 과실 때림.
  
• 진출로가 막혀서 정체 행렬이 굉장히 길게 이어져 있는데.. 정작 실제 분기 지점은 차들이 별 정체도 없고 긴 간격으로 아주 여유롭게 가고 있는 게 보인다. 이 정도면 새치기· 끼어들기를 하는 차만 나쁘다고 탓할 게 아니라 앞에서 빨리 빨리 가 주지 않고 있는 차에게도 책임을 좀 물어야 한다고 여겨진다.

3. 사고 시

• 예측 불가능하게 갑자기 툭 튀어나오는 무단횡단자, 자라니 따위한테는 무관용. 사고 나도 운전자에게 실드 쳐 줌.
• 음주운전은 단속에 걸렸을 때 처벌을 더 강화할 필요는 없지만 인명 사고를 냈을 때는 진짜 반 죽여 놓도록 처벌 강화.

모든 교통법규의 핵심은: "니가 거기에 재수없게 있다가 부딪친 게 잘못이다"가 아니라 "니가 이 규칙을 어기면서 거기에 있다가 부딪친 게 잘못이다"가 되게 하는 것이다. 또한, 차로 변경 없이 직선으로 쭉 고속 주행하는 차의 편의를 최우선적으로 봐 주는 것을 원칙으로 삼고 정책을 짠다.

앞에 아무 장애물이 없고 시야 확보되고 탁 트인 고속도로에서야 시속 180~200도 밟는다. 하지만 옆에서 뭐가 '합법적으로' 튀어나올지 모르는 골목길에서는 시속 30도 안 밟고 일시정지까지 하면서 언제라도 정지 가능하게 까치발 자세로 굴러가며 대비하는 것이 바로 안전운전이다.

또한 교통 시스템은 운전자에게 멀뚱멀뚱 신호대기가 아무 의미 없는 삽질 뻘짓이라는 생각이 들지 않게 해야 한다.
보행자는 자기가 있다는 티를 충분히 내도록 하고, 차가 브레이크 밟는 일이 없도록 협조해 줘야 한다.

4. 예방과 처벌

• 미성년자가 성인을 거짓 사칭하거나 신분증을 위조해서 술· 담배를 샀는데 왜 편의점만 처벌하고 애새끼들은 처벌을 안 하는가?
• 과적 화물차를 적발하면 왜 운전자만 처벌하는가? 과적을 부추기고 강요한 화주는 왜 강하게 처벌하지 않는가? 과적을 안 하는 게 바보짓이라는 관행 자체를 근본적으로 뿌리뽑을 생각을 왜 안 하는가?

이거 마치 성경에서 요한복음 8장의 간음하다 붙잡힌 여인 이야기를 읽으면서.. “왜 여인만 있고 같이 있던 남자는 어디 갔나?”라고 의문을 품는 것과 비슷해 보인다..;;

(1) 과적의 경우 경찰청의 단속 방식과 도로 공사의 단속 방식이 다르고 측정 장비조차 서로 연계되지 않는다고 수 년 전부터 뉴스 고발 프로에서 지적했었는데.. 이제 법과 제도가 좀 개선됐는가 모르겠다.

(2) 화물차는 과적뿐만 아니라 주행 중인 트럭에서 화물이 굴러떨어져서 주변 차가 날벼락을 맞는 사고가 생각보다 자주 발생했다. 그렇다 보니 몇 년 전부터 이것도 중과실로 인정될 정도로 법이 바뀌었는데.. 그것뿐만 아니라 판 스프링이 떨어졌다가 퍽 튀어올라서 사람을 잡은 사고도 지금까지 한두 건 발생한 게 아니었다.
이래저래 민폐 끼치는 방식이 참 다양한데.. 처벌 강화 말고는 딱히 답이 없는 것 같다.

(3) 그리고 자동차는 술만큼이나 미성년자에게 넘겨 줘서는 절대로 안 되는 위험한 물건이다. (우리나라야 총기는 없으니..)
그런데 신원을 제대로 확인하지 않고 애들한테 차를 덥석 빌려준 렌터카/카셰어링 업체들은 술을 잘못 판 편의점을 조지듯이 강하게 처벌받고 있나 모르겠다.

아니, 형사 처벌이 없더라도, 대여자 신원을 제대로 확인하지 않아서 사고가 난 것에 대해 보험사에서 보상을 전혀 안 해 버리면 그것만으로도 자동차 대여업자들은 무서워서 몸을 사리게 될 텐데.. 도대체 왜 이런 부조리가 개선되지 않고 있는지 개인적으로 무척 궁금하다.

흉악범, 음주운전 가해자에 대한 처벌이 너무 약한 것, 무단횡단자에 대한 처벌이나 교통사고 과실 부과가 너무 약한 것, 정당방위 인정이 비현실적으로 너무 좁은 것들은 더 말하면 입만 아프니 더 말을 말자.

5. 교통 관련 법규가 다른 분야의 법과 닮은 부분

(1) 산에서 무단으로 각종 나물을 채취하지 말라고 "국유림 나물 채취는 불법이고, 사유림 나물 채취는 도둑질입니다" 이런 표어를 만들어 놓은 것을 본인은 유튜브에서 본 적이 있다.
이건 주차로 치면 각각 불법 주차와 부정 주차에 정확하게 대응한다. 전자는 그 누구도 차를 세워서는 안 되는 곳(길가의 황색 실선)이고, 후자는 차를 댈 수는 있지만 그게 니 차는 아닌 곳이니 말이다.

(2) 군대에는 형법상의 중징계를 받는 항명죄라는 게 있고(군형법 제44조), 그것보다는 가벼운 징계를 받는 지시 불이행(군인복무기본법 제25조 복종 의무 위반)이라는 게 있다.

도로교통법에서 말하는 신호와 지시도 이와 완전히 같지는 않지만 얼추 비슷한 관계인 것 같다.
신호등은 명령인 게 명백해 보이는데, 이뿐만 아니라 각종 '좌회전/유턴 금지, 추월 금지, 일방통행, 안전지대' 같은 지시 표지판들도 신호등과 동급의 강제성을 지닌다.

비록 이런 표지판들은 단속 카메라가 달려 있지는 않지만, 이런 걸 어겨서 사고가 나면 신호 위반과 완전히 동등한 12대 중과실 사고로 처리되므로 절대적으로 주의해야 한다. 그러니 '신호 위반'이라는 건 애초에 '신호/지시 위반'이라고 이해하는 게 더 정확하다.
아울러, 경찰관의 교통 통제 신호도 '지시'로 간주된다. 이 지시는 심지어 신호등보다도 적용 우선순위가 더 높다.

Posted by 사무엘